Le point d'un fermé le plus visité par le mouvement brownien

Abstract

Soit $(B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ un mouvement brownien dans $\mathbb{R}$, issu de 0. Soit $(L_t^x)_{t \in \mathbb{R}_+}^{x \in \mathbb{R}}$ une version continue de ses temps locaux. $F$ étant un fermé de $\mathbb{R}$, contenant 0, on s'intéresse au processus càdlàg $(A_t^F)_{t \in \mathbb{R}_+}$, où $A_t^F$ est "le" point de $F$ le plus visité àl'instant $t$, c'est-à-dire "le" point $a \in F$ tel que $L_t^a = L_t^F$, en notant $L_t^F = \max_{x \in F} L_t^x$.

On démontre que le processus $(A_t^F)_{t \in \mathbb{R}_+}$ est àvariation localement bornée (et même purement de sauts) et que le processus croissant $(L_t^F)_{t \in \mathbb{R}_+}$ majore le temps local symétrique en 0 de la semi-martingale $(B_t - A_t^F)_{t \in \mathbb{R}_+}$.

Lorsque $F = \mathbb{R}$, on montre que cette majoration est en fait une égalité et que les sauts du processus $(A_t^F)_{t \in \mathbb{R}_+}$ ne sont ni isolés, ni "obligés."