Sur la définissabilité existentielle de la non-nullité dans les anneaux

Abstract

On étudie les anneaux (notamment noethériens) dans lesquels l’ensemble des éléments non nuls est existentiel positif (réunion finie de projections d’ensembles « algébriques »). Dans le cas noethérien intègre, on montre notamment que cette condition est vérifiée pour tout anneau qui n’est pas local hensélien, et qu’elle ne l’est pas pour un anneau local hensélien excellent qui n’est pas un corps.

Ces résultats apportent au passage une réponse à une question de Popescu sur l’approximation forte pour les couples henséliens.

We investigate rings in which the set of nonzero elements is positive-existential (i.e., a finite union of projections of “algebraic” sets). In the case of Noetherian domains, we prove in particular that this condition is satisfied whenever the ring in question is not local Henselian, while it is not satisfied for any excellent local Henselian domain which is not a field.

As a byproduct, we obtain an answer to a question of Popescu on strong approximation for Henselian pairs.