Algebra & Number Theory

Complétés universels de représentations de $\mathrm{GL}_2({\mathbb Q}_p)$

Pierre Colmez and Gabriel Dospinescu

Full-text: Open access

Abstract

Soit Π une représentation unitaire de GL2(p), topologiquement de longueur finie. Nous décrivons la sous-représentation Πan de ses vecteurs localement analytiques, et sa filtration par rayon d’analyticité, en termes du (φ,Γ)-module qui lui est associé via la correspondance de Langlands locale p-adique, et nous en déduisons que le complété universel de Πan n’est autre que Π.

Let Π be a unitary representation of GL2(p), topologically of finite length. We describe the subrepresentation Πan made of its locally analytic vectors, and its filtration by radius of analyticity, in terms of the (φ,Γ)-module attached to Π via the p-adic local Langlands correspondence, and we deduce that the universal completion of Πan is Π itself.

Article information

Source
Algebra Number Theory, Volume 8, Number 6 (2014), 1447-1519.

Dates
Received: 10 March 2013
Revised: 23 May 2013
Accepted: 24 July 2013
First available in Project Euclid: 20 December 2017

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https://projecteuclid.org/euclid.ant/1513730252

Digital Object Identifier
doi:10.2140/ant.2014.8.1447

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR3267142

Zentralblatt MATH identifier
1309.11082

Subjects
Primary: 11SXX

Keywords
$p$-adic representations local Langlands correspondence universal completion

Citation

Colmez, Pierre; Dospinescu, Gabriel. Complétés universels de représentations de $\mathrm{GL}_2({\mathbb Q}_p)$. Algebra Number Theory 8 (2014), no. 6, 1447--1519. doi:10.2140/ant.2014.8.1447. https://projecteuclid.org/euclid.ant/1513730252


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References

  • Y. Amice, “Interpolation $p$-adique”, Bull. Soc. Math. France 92 (1964), 117–180.
  • L. Barthel and R. Livné, “Irreducible modular representations of ${\rm GL}\sb 2$ of a local field”, Duke Math. J. 75:2 (1994), 261–292.
  • L. Berger, “Représentations modulaires de ${\rm GL}\sb 2(\bold Q\sb p)$ et représentations galoisiennes de dimension 2”, pp. 263–279 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de ${\rm GL}_2(\bold Q_p)$ et $(\varphi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • L. Berger and P. Colmez, “Familles de représentations de de Rham et monodromie $p$-adique”, pp. 303–337 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, I: Représentations galoisiennes et $(\varphi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 319, Société Mathématique de France, Paris, 2008.
  • C. Breuil, “Sur quelques représentations modulaires et $p$-adiques de ${\rm GL}\sb 2(\bold Q\sb p)$, I”, Compositio Math. 138:2 (2003), 165–188.
  • C. Breuil, “Invariant $\mathscr L$ et série spéciale $p$-adique”, Ann. Sci. École Norm. Sup. $(4)$ 37:4 (2004), 559–610.
  • C. Breuil and P. Schneider, “First steps towards $p$-adic Langlands functoriality”, J. Reine Angew. Math. 610 (2007), 149–180.
  • F. Cherbonnier and P. Colmez, “Représentations $p$-adiques surconvergentes”, Invent. Math. 133:3 (1998), 581–611.
  • P. Colmez, “$(\varphi,\Gamma)$-modules et représentations du mirabolique de ${\rm GL}\sb 2(\bold Q\sb p)$”, pp. 61–153 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de ${\rm GL}_2(\bold Q_p)$ et $(\varphi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • P. Colmez, “Représentations de ${\rm GL}\sb 2(\bold Q\sb p)$ et $(\varphi,\Gamma)$-modules”, pp. 281–509 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de ${\rm GL}_2(\bold Q_p)$ et $(\varphi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • P. Colmez, “La série principale unitaire de ${\rm GL}\sb 2(\bold Q\sb p)$”, pp. 213–262 in Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques, II: Représentations de ${\rm GL}_2(\bold Q_p)$ et $(\varphi,\Gamma)$-modules, edited by L. Berger et al., Astérisque 330, Société Mathématique de France, Paris, 2010.
  • P. Colmez, “La série principale unitaire de $\mathrm{GL}_2(\qp)$: vecteurs localement analytiques”, in Automorphic forms and Galois representations (Durham, 2011), edited by M. Kim et al., London Math. Soc. Lecture Note Series 414, Cambridge University Press, 2014.
  • P. Colmez, G. Dospinescu, and V. Paškūnas, “The $p$-adic local Langlands correspondence for $\mathrm{GL}_2(\qp)$”, Cambridge J. Math. 2:1 (2014), 1–47.
  • G. Dospinescu, “Actions infinitésimales dans la correspondance de Langlands locale $p$-adique”, Math. Ann. 354:2 (2012), 627–657.
  • G. Dospinescu, “Extensions de représentations de de Rham et vecteurs localement algébriques”, prépublication, 2013. to appear in Compositio Math.
  • G. Dospinescu and B. Schraen, “Endomorphism algebras of admissible $p$-adic representations of $p$-adic Lie groups”, Represent. Theory 17 (2013), 237–246.
  • J. D. Dixon, M. P. F. du Sautoy, A. Mann, and D. Segal, Analytic pro-$p$ groups, 2nd ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 61, Cambridge University Press, 1999.
  • M. Emerton, “A local-global compatibility conjecture in the $p$-adic Langlands programme for ${\rm GL}\sb {2/\mathbb{Q}}$”, Pure Appl. Math. Q. 2:2 (2006), 279–393.
  • M. Emerton, “$p$-adic $L$-functions and unitary completions of representations of $p$-adic reductive groups”, Duke Math. J. 130:2 (2005), 353–392.
  • M. Emerton, “Locally analytic vectors in representations of locally $p$-adic analytic groups”, prépublication, 2011, http://www.math.uchicago.edu/~emerton/pdffiles/analytic.pdf. À paraître dans les Memoirs of the AMS.
  • J.-M. Fontaine, “Représentations $p$-adiques des corps locaux, I”, pp. 249–309 in The Grothendieck Festschrift, vol. II, edited by P. Cartier et al., Progr. Math. 87, Birkhäuser, Boston, MA, 1990.
  • R. Liu, B. Xie, and Y. Zhang, “Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\rm GL}\sb 2(\mathbb Q\sb p)$”, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. $(4)$ 45:1 (2012), 167–190.
  • K. S. Kedlaya, “A $p$-adic local monodromy theorem”, Ann. of Math. $(2)$ 160:1 (2004), 93–184.
  • V. Paškūnas, “The image of Colmez's Montreal functor”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 118 (2013), 1–191.
  • C. Perez-Garcia and W. H. Schikhof, Locally convex spaces over non–Archimedean valued fields, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 119, Cambridge University Press, 2010.
  • P. Schneider and J. Teitelbaum, “Banach space representations and Iwasawa theory”, Israel J. Math. 127 (2002), 359–380.
  • P. Schneider and J. Teitelbaum, “Algebras of $p$-adic distributions and admissible representations”, Invent. Math. 153:1 (2003), 145–196.