Algebra & Number Theory

Raccord sur les espaces de Berkovich

Jérôme Poineau

Full-text: Open access

Abstract

Nous présentons ici quelques résultats autour du problème inverse de Galois. Nous commençons par rappeler la stratégie géométrique classique permettant de démontrer que tout groupe fini est groupe de Galois sur C(T). Nous l’appliquons dans une autre situation afin de démontrer que, si (B) désigne le corps des fonctions méromorphes sur une partie B, d’un certain type, d’un espace de Berkovich sur un corps, alors l’énoncé précédent reste valable lorsque l’on remplace C par (B). On retrouve, en particulier, le fait que tout groupe fini est groupe de Galois sur K(T), lorsque K est un corps valué complet dont la valuation n’est pas triviale.

Dans un second temps, en utilisant une méthode similaire, nous proposons une nouvelle preuve, purement géométrique, dans le langage des espaces de Berkovich sur un anneau d’entiers de corps de nombres, d’un résultat de D. Harbater assurant que tout groupe fini est groupe de Galois sur un corps de séries arithmétiques convergentes, ainsi que quelques généralisations.

Patching on Berkovich spaces. We present a few results related to the inverse Galois problem. First we recall the geometric patching strategy that is used to handle the problem in the complex case. We use it in a different situation to prove that if (B) is the field of meromorphic functions over a part B, satisfying some conditions, of a Berkovich space over a valued field, then every finite group is a Galois group over (B)(T). From this we derive a new proof of the fact that any finite group is a Galois group over K(T), where K is a complete valued field with nontrivial valuation.

In a second part, we deal with the following theorem by D. Harbater: every finite group is a Galois group over a field of convergent arithmetic power series. We switch to Berkovich spaces over the ring of integers of a number field and use a similar strategy to give a new and purely geometric proof of this theorem, as well as some generalizations.

Article information

Source
Algebra Number Theory, Volume 4, Number 3 (2010), 297-334.

Dates
Received: 29 May 2009
Revised: 31 August 2009
Accepted: 30 September 2009
First available in Project Euclid: 20 December 2017

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.ant/1513729526

Digital Object Identifier
doi:10.2140/ant.2010.4.297

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2602668

Zentralblatt MATH identifier
1205.12003

Subjects
Primary: 12F12: Inverse Galois theory
Secondary: 14G22: Rigid analytic geometry 14G20: Local ground fields 14G25: Global ground fields

Keywords
problème inverse de Galois espaces de Berkovich géométrie analytique $p$-adique géométrie analytique globale séries arithmétiques convergentes inverse Galois problem Berkovich spaces p-adic analytic geometry global analytic geometry convergent arithmetic power series

Citation

Poineau, Jérôme. Raccord sur les espaces de Berkovich. Algebra Number Theory 4 (2010), no. 3, 297--334. doi:10.2140/ant.2010.4.297. https://projecteuclid.org/euclid.ant/1513729526


Export citation

References

  • V. G. Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 1990.
  • V. G. Berkovich, “Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 78 (1993), 5–161 (1994).
  • V. G. Berkovich, “Vanishing cycles for non-Archimedean analytic spaces”, J. Amer. Math. Soc. 9:4 (1996), 1187–1209.
  • H. Cartan, “Faisceaux analytiques sur les variétés de Stein: démonstration des théorèmes fondamentaux”, in Séminaire Henri Cartan $1951/52$ (Exposé 19), vol. 4, 1951. Republié en 1955 par le département de mathématiques de MIT.
  • A. Ducros, “Les espaces de Berkovich sont excellents”, Ann. Inst. Fourier $($Grenoble$)$ 59:4 (2009), 1443–1552.
  • A. Grothendieck, “Éléments de géométrie algébrique, II: Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 8 (1961).
  • M. D. Fried and M. Jarden, Field arithmetic, 3rd ed., Ergebnisse der Mathematik $(3)$ 11, Springer, Berlin, 2008.
  • M. Hakim, Topos annelés et schémas relatifs, Ergebnisse der Math. 64, Springer, Berlin, 1972.
  • D. Harbater, “Convergent arithmetic power series”, Amer. J. Math. 106:4 (1984), 801–846.
  • D. Harbater, “Mock covers and Galois extensions”, J. Algebra 91:2 (1984), 281–293.
  • D. Harbater, “Algebraic rings of arithmetic power series”, J. Algebra 91:2 (1984), 294–319.
  • D. Harbater, “Galois coverings of the arithmetic line”, pp. 165–195 in Number theory (New York, 1984–1985), edited by D. V. Chudnovsky et al., Lecture Notes in Math. 1240, Springer, Berlin, 1987.
  • D. Harbater, “Galois covers of an arithmetic surface”, Amer. J. Math. 110:5 (1988), 849–885.
  • D. Harbater, “Patching and Galois theory”, pp. 313–424 in Galois groups and fundamental groups, edited by L. Schneps, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 41, Cambridge Univ. Press, 2003.
  • R. Kiehl, “Der Endlichkeitssatz für eigentliche Abbildungen in der nichtarchimedischen Funktionentheorie”, Invent. Math. 2 (1967), 191–214.
  • U. K öpf, “Über eigentliche Familien algebraischer Varietäten über affinoiden Räumen”, Schr. Math. Inst. Univ. Münster $(2)$ Heft 7 (1974), iv+72.
  • Q. Liu, “Tout groupe fini est un groupe de Galois sur ${\bf Q}\sb p(T)$, d'après Harbater”, pp. 261–265 in Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, 1993), edited by M. D. Fried et al., Contemp. Math. 186, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
  • L. Moret-Bailly, “Construction de revêtements de courbes pointées”, J. Algebra 240:2 (2001), 505–534.
  • J. Poineau, “La droite de Berkovich sur $\mathbf{Z}$”, preprint, 2008. À paraître dans Astérisque (2010).
  • F. Pop, “Embedding problems over large fields”, Ann. of Math. $(2)$ 144:1 (1996), 1–34.
  • D. J. Saltman, “Generic Galois extensions and problems in field theory”, Adv. in Math. 43:3 (1982), 250–283.
  • J.-P. Serre, “Géométrie algébrique et géométrie analytique”, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 6 (1955–1956), 1–42.
  • A. Grothendieck (editor), Revêtements étales et groupe fondamental, Lecture Notes in Mathematics 224, Springer, Berlin, 1971.