A Central Limit Theorem for the stochastic wave equation with fractional noise

Abstract

We study the one-dimensional stochastic wave equation driven by a Gaussian multiplicative noise, which is white in time and has the covariance of a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in [1/2,1)$ in the spatial variable. We show that the normalized spatial average of the solution over $[-R,R]$ converges in total variation distance to a normal distribution, as $R$ tends to infinity. We also provide a functional Central Limit Theorem.

Nous étudions l’équation des ondes en une dimension, perturbée par un bruit gaussien multiplicatif, qui est blanc en temps et qui a la covariance d’un mouvement brownien fractionnaire avec paramètre de Hurst $H\in [1/2,1)$ dans la variable d’espace. Nous démontrons que la moyenne spatiale normalisée de la solution sur un intervalle $[-R,R]$ converge, en la distance de la variation totale, vers une loi normale, quand $R$ tend vers l’infini. Nous prouvons aussi un théorème central limite fonctionnel.