Spectral gap of sparse bistochastic matrices with exchangeable rows

Abstract

We consider a random bistochastic matrix of size $n$ of the form $MQ$ where $M$ is a uniformly distributed permutation matrix and $Q$ is a given bistochastic matrix. Under sparsity and regularity assumptions on $Q$, we prove that the second largest eigenvalue of $MQ$ is essentially bounded by the normalized Hilbert–Schmidt norm of $Q$ when $n$ grows large. We apply this result to random walks on random regular digraphs.

Considérons une matrice bi-stochastique aléatoire de taille $n$ et de la forme $MQ$ avec $M$ une matrice de permutation uniformément distribuée et $Q$ une matrice bi-stochastique fixée. Sous des conditions de parcimonie et de régularité sur $Q$, on démontre que la deuxième plus grande valeur propre de $MQ$ est essentiellement bornée par la norme de Hilbert–Schmidt normalisée de $Q$ lorsque $n$ est très grand. Ce résultat s’applique aux marches au hasard sur les graphes aléatoires dirigés réguliers.