Cutoff for random walk on dynamical Erdős–Rényi graph

Abstract

We consider dynamical percolation on the complete graph $K_{n}$, where each edge refreshes its state at rate $\mu \ll 1/n$, and is then declared open with probability $p=\lambda /n$ where $\lambda >1$. We study a random walk on this dynamical environment which jumps at rate $1/n$ along every open edge. We show that the mixing time of the full system exhibits cutoff at $\frac{3}{2}\log n/\mu $. We do this by showing that the random walk component mixes faster than the environment process; along the way, we control the time it takes for the walk to become isolated.

Nous considérons le modèle de percolation dynamique sur le graphe complet $K_{n}$, où chaque arête réactualise son état au taux $\mu \ll 1/n$, et est ensuite déclarée ouverte avec probabilité $p=\lambda /n$, où $\lambda >1$. Nous étudions une marche aléatoire sur cet environnement dynamique qui saute à taux $1/n$ à travers chaque arête ouverte. Nous montrons que le temps de mélange de tout ce processus a un cutoff au temps $\frac{3}{2}\log n/\mu $. Nous l’obtenons en montrant que la composante marche aléatoire mélange plus vite que le processus d’environnement; au passage nous contrôlons le temps que met la marche avant d’être isolée.