Induced graphs of uniform spanning forests

Abstract

Given a subgraph $H$ of a graph $G$, the induced graph of $H$ is the largest subgraph of $G$ whose vertex set is the same as that of $H$. Our paper concerns the induced graphs of the components of $\mathsf{WSF}(G)$, the wired uniform spanning forest on $G$, and, to a lesser extent, $\mathsf{FSF}(G)$, the free uniform spanning forest. We show that the induced graph of each component of $\mathsf{WSF}({\mathbb{Z}}^d$) is almost surely recurrent when $d\ge 8$. Moreover, the effective resistance between two points on the ray of the tree to infinity within a component grows linearly when $d\ge 9$. For any vertex-transitive graph $G$, we establish the following resampling property: Given a vertex $o$ in $G$, let ${\mathcal{T}}_o$ be the component of $\mathsf{WSF}(G)$ containing $o$ and $\overline{{\mathcal{T}}_o}$ be its induced graph. Conditioned on $\overline{{\mathcal{T}}_o}$, the tree ${\mathcal{T}}_o$ is distributed as $\mathsf{WSF}(\overline{{\mathcal{T}}_o})$. For any graph $G$, we also show that if ${\mathcal{T}}_o$ is the component of $\mathsf{FSF}(G)$ containing $o$ and $\overline{{\mathcal{T}}_o}$ is its induced graph, then conditioned on $\overline{{\mathcal{T}}_o}$, the tree ${\mathcal{T}}_o$ is distributed as $\mathsf{FSF}(\overline{{\mathcal{T}}_o})$.

Étant donné un sous-graphe $H$ d’un graphe $G$, le graphe induit de $H$ est le plus grand sous-graphe de $G$ dont l’ensemble de sommets est le même que celui de $H$. Notre article concerne les graphes induits des composants connexes de $\mathsf{WSF}(G)$, la forêt recouvrante uniforme câblée sur $G$, et, dans une moindre mesure, $\mathsf{FSF}(G)$, la forêt recouvrante uniforme libre. Nous montrons que le graphe induit de chaque composant de $$) est presque sûrement récurrent lorsque $$. De plus, la résistance effective entre deux points du rayon de l’arbre à l’infini au sein d’un composant croît linéairement lorsque $$. Pour tout graphe transitif à sommets $$, nous établissons la propriété de rééchantillonnage suivante: Étant donné un sommet $$ dans $$, soit $$ le composant de $$ qui contient $$ et $$ son graphe induit. Conditionné sur $$, l’arbre $$ est distribué comme $$. Pour tout graphe $$, nous montrons également que si $$ est le composant de $$ qui contient $$ et $$ est son graphe induit, alors conditionné sur $$, l’arbre $$ est distribué comme $$.