On the convergence of random tridiagonal matrices to stochastic semigroups

Abstract

We develop an improved version of the stochastic semigroup approach to study the edge of $\beta$-ensembles pioneered by Gorin and Shkolnikov (Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344), and later extended to rank-one additive perturbations by the author and Shkolnikov (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 1402–1438). Our method is applicable to a significantly more general class of random tridiagonal matrices than that considered in (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 1402–1438; Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344), including some non-symmetric cases that are not covered by the stochastic operator formalism of Bloemendal, Ramírez, Rider, and Virág (Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 795–825; J. Amer. Math. Soc. 24 (2011) 919–944).

We present two applications of our main results: Firstly, we prove the convergence of $\beta$-Laguerre-type (i.e., sample covariance) random tridiagonal matrices to the stochastic Airy semigroup and its rank-one spiked version. Secondly, we prove the convergence of the eigenvalues of a certain class of non-symmetric random tridiagonal matrices to the spectrum of a continuum Schrödinger operator with Gaussian white noise potential.

Nous développons une version améliorée de l’approche de stochastic semigroup pour étudier l’extrémité des ensembles bêta introduits par Gorin et Shkolnikov (Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344), ensuite étendue aux ensembles bêta gaussiens avec perturbation de rang un par l’auteur et Shkolnikov (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 1402–1438). Notre méthode est applicable à une classe nettement plus générale de matrices tridiagonales aléatoires que celles dans (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 1402–1438; Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344), y compris certains cas non symétriques qui ne sont pas couverts par la méthode de stochastic operators introduite par Bloemendal, Ramírez, Rider et Virág (Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 795–825; J. Amer. Math. Soc. 24 (2011) 919–944).

Nous présentons deux applications de nos principaux résultats : Premièrement, nous prouvons la convergence de matrices tridiagonales aléatoires de type $\beta$-Laguerre (c.-à-d., matrices de covariances empiriques) vers le semi-groupe du stochastic Airy operator et sa perturbation de rang un. Deuxièmement, nous prouvons la convergence des valeurs propres d’une certaine classe de matrices tridiagonales aléatoires non symétriques vers le spectre d’opérateurs de Schrödinger avec bruit blanc gaussien.