Cutoff for the Bernoulli–Laplace urn model with $o(n)$ swaps

Abstract

We study the mixing time of the $(n,k)$ Bernoulli–Laplace urn model, where $k\in\{0,1,\ldots,n\}$. Consider two urns, each containing $n$ balls, so that when combined they have precisely $n$ red balls and $n$ white balls. At each step of the process choose uniformly at random $k$ balls from the left urn and $k$ balls from the right urn and switch them simultaneously. We show that if $k=o(n)$, this Markov chain exhibits mixing time cutoff at $\frac{n}{4k}\log n$ and window of the order $\frac{n}{k}\log\log n$. This is an extension of a classical theorem of Diaconis and Shahshahani who treated the case $k=1$.

Nous étudions le temps de mélange de l’urne de Bernoulli–Laplace de paramètres $(n,k)$, où $k\in\{0,1,\ldots,n\}$. On considère deux urnes, chacune contenant $n$ boules, telles que combinées elles ont exactement $n$ boules rouges et $n$ boules blanches. A chaque étape du processus, on choisit au hasard $k$ boules dans chaque urne et on les échange. Nous montrons que si $k=o(n)$, le temps de mélange de cette chaîne de Markov exhibe un phénomène de coupure à l’instant $\frac{n}{4k}\log n$ avec une fenêtre d’ordre $\frac{n}{k}\log\log n$. Ceci donne une extension du théorème classique de Diaconis et Shahshahani qui traitait le cas $k=1$.