Concentration of Markov chains with bounded moments

Abstract

Let $\{W_{t}\}_{t=1}^{\infty }$ be a finite state stationary Markov chain, and suppose that $f$ is a real-valued function on the state space. If $f$ is bounded, then Gillman’s expander Chernoff bound (1993) provides concentration estimates for the random variable $f(W_{1})+\cdots +f(W_{n})$ that depend on the spectral gap of the Markov chain and the assumed bound on $f$. Here we obtain analogous inequalities assuming only that the $q$’th moment of $f$ is bounded for some $q\geq 2$. Our proof relies on reasoning that differs substantially from the proofs of Gillman’s theorem that are available in the literature, and it generalizes to yield dimension-independent bounds for mappings $f$ that take values in an $L_{p}(\mu )$ for some $p\geq 2$, thus answering (even in the Hilbertian special case $p=2$) a question of Kargin (Ann. Appl. Probab. 17 (4) (2007) 1202–1221).

Soit $\{W_{t}\}_{t=1}^{\infty }$ une chaîne de Markov stationnaire à états finis, et supposons que $f$ soit une fonction réelle définie sur l’espace d’états. Si $f$ est bornée, l’inégalité de Chernoff pour les graphes expanseurs (1993) de Gillman fournit des estimations de concentration pour la variable aléatoire $f(W_{1})+\cdots +f(W_{n})$ qui dépendent du trou spectral de la chaîne de Markov et la borne sur $f$. Nous obtenons ici des inégalités analogues en supposant seulement que le $q$-ème moment de $f$ est borné pour un certain $q\geq 2$. Notre démonstration repose sur un raisonnement qui diffère substantiellement des démonstrations du théorème de Gillman disponibles dans la littérature, et elle se généralise de façon à générer des bornes indépendantes de la dimension pour les applications $f$ qui prennent des valeurs dans un $L_{p}(\mu )$ pour $p\ge 2$, répondant ainsi (même dans le cas spécial hilbertien $p=2$) à une question de Kargin (Ann. Appl. Probab. 17 (4) (2007) 1202–1221).