Non-asymptotic Gaussian estimates for the recursive approximation of the invariant distribution of a diffusion

Abstract

We obtain non-asymptotic Gaussian concentration bounds for the difference between the invariant distribution $\nu $ of an ergodic Brownian diffusion process and the empirical distribution of an approximating scheme with decreasing time step along a suitable class of (smooth enough) test functions $f$ such that $f-\nu (f)$ is a coboundary of the infinitesimal generator. We show that these bounds can still be improved when some suitable squared-norms of the diffusion coefficient also belong to this class. We apply these estimates to design computable non-asymptotic confidence intervals for the approximating scheme. As a theoretical application, we finally derive non-asymptotic deviation bounds for the almost sure Central Limit Theorem.

Nous obtenons des estimées de concentration gaussienne non asymptotiques pour la différence entre la mesure invariante $\nu $ d’une diffusion brownienne ergodique et la mesure empirique d’un schéma d’approximation à pas décroissants évaluée le long d’une classe admissible de fonctions tests $f$ telles que $f-\nu (f)$ soit un co-bord du générateur infinitésimal. Nous montrons que ces bornes peuvent être améliorées lorsque le carré de certaines normes du coefficient de diffusion appartient également à cette classe. Nous déduisons de ces estimées des intervalles de confiance non asymptotiques explicitement calculables pour le schéma d’approximation. Nous obtenons également, en terme d’application théorique, des estimées de déviations non asymptotiques pour le théorème de la limite centrale presque sûr.