Sanov-type large deviations in Schatten classes

Abstract

Denote by $\lambda_{1}(A),\ldots ,\lambda_{n}(A)$ the eigenvalues of an $(n\times n)$-matrix $A$. Let $Z_{n}$ be an $(n\times n)$-matrix chosen uniformly at random from the matrix analogue to the classical $\ell_{p}^{n}$-ball, defined as the set of all self-adjoint $(n\times n)$-matrices satisfying $\sum_{k=1}^{n}|\lambda_{k}(A)|^{p} \leq 1$. We prove a large deviations principle for the (random) spectral measure of the matrix $n^{1/p}Z_{n}$. As a consequence, we obtain that the spectral measure of $n^{1/p}Z_{n}$ converges weakly almost surely to a non-random limiting measure given by the Ullman distribution, as $n\to \infty $. The corresponding results for random matrices in Schatten trace classes, where eigenvalues are replaced by the singular values, are also presented.

Notons $\lambda_{1}(A),\ldots ,\lambda_{n}(A)$ les valeurs propres d’une matrice $A$ de taille $n\times n$. Soit $Z_{n}$ une matrice $n\times n$ choisie aléatoirement et uniformément dans l’équivalent matriciel de la boule unité de l’ensemble classique $\ell_{p}^{n}$, défini comme l’ensemble des matrices $n\times n$ auto-adjointes satisfaisant $\sum_{k=1}^{n}|\lambda_{k}(A)|^{p} \leq 1$. Nous prouvons un principe de grandes déviations pour la mesure spectrale aléatoire de la matrice $n^{1/p}Z_{n}$. Comme conséquence, nous obtenons que la mesure spectrale de $n^{1/p}Z_{n}$ converge faiblement presque sûrement vers une mesure déterministe limite décrite par la loi d’Ullman lorsque $n$ tend vers l’infini. Nous présentons également les résultats correspondants pour les matrices aléatoires dans les classes de trace de Schatten, où les valeurs propres sont remplacées par les valeurs singulières.