Scaling limits of discrete snakes with stable branching

Abstract

We consider so-called discrete snakes obtained from size-conditioned critical Bienaymé–Galton–Watson trees by assigning to each node a random spatial position in such a way that the increments along each edge are i.i.d. When the offspring distribution belongs to the domain of attraction of a stable law with index $\alpha\in(1,2]$, we give a necessary and sufficient condition on the tail distribution of the spatial increments for this spatial tree to converge, in a functional sense, towards the Brownian snake driven by the $\alpha$-stable Lévy tree. We also study the case of heavier tails, and apply our result to study the number of inversions of a uniformly random permutation indexed by the tree.

Nous considérons des « serpents stables » obtenus à partir d’arbres de Bienaymé–Galton–Watson critiques conditionnés par la taille en assignant à chaque nœud une position spatiale de sorte que les accroissements le long des arêtes sont i.i.d. Lorsque la loi de reproduction appartient au bassin d’attraction d’une loi stable d’indice $\alpha\in\mathopen{]}1,2\mathclose{]}$, nous donnons une condition nécessaire et suffisante sur la queue de distribution des accroissements spatiaux pour que cet arbre converge – en un sens fonctionnel – vers le serpent brownien sur l’arbre de Lévy $\alpha$-stable. Nous étudions également le cas de queues plus lourdes et nous appliquons nos résultats au nombre d’inversions d’une permutation aléatoire indexée par l’arbre.