The asymptotic equivalence of the sample trispectrum and the nodal length for random spherical harmonics

Abstract

We study the asymptotic behaviour of the nodal length of random $2d$-spherical harmonics $f_{\ell}$ of high degree $\ell\rightarrow\infty$, i.e. the length of their zero set $f_{\ell}^{-1}(0)$. It is found that the nodal lengths are asymptotically equivalent, in the $L^{2}$-sense, to the “sample trispectrum”, i.e., the integral of $H_{4}(f_{\ell}(x))$, the fourth-order Hermite polynomial of the values of $f_{\ell}$. A particular by-product of this is a Quantitative Central Limit Theorem (in Wasserstein distance) for the nodal length, in the high energy limit.

Nous étudions le comportement asymptotique de la longueur nodale de fonctions propres aléatoires $f_{\ell}$ du Laplacien sphérique pour valeurs propres très élevés $\ell\rightarrow+\infty$, c’est-à-dire la longueur de leur ensemble de niveau zéro $f_{\ell}^{-1}(0)$. Nous démontrons que la longueur nodale est asymptotiquement équivalente, au sens de $L^{2}$, au « sample trispectrum », c’est-à-dire l’intégral de $H_{4}(f_{\ell}(x))$, le polynôme de Hermite d’ordre quatre évalué en $f_{\ell}$. Une conséquence de ce résultat est un Théorème Central Limite quantitatif (dans le sens de la distance de Wasserstein) pour la longueur nodale, quand l’énergie tend vers l’infini.