Nonparametric density estimation from observations with multiplicative measurement errors

Abstract

In this paper we study the problem of pointwise density estimation from observations with multiplicative measurement errors. We elucidate the main feature of this problem: the influence of the estimation point on the estimation accuracy. In particular, we show that, depending on whether this point is separated away from zero or not, there are two different regimes in terms of the rates of convergence of the minimax risk. In both regimes we develop kernel-type density estimators and prove upper bounds on their maximal risk over suitable nonparametric classes of densities. We show that the proposed estimators are rate-optimal by establishing matching lower bounds on the minimax risk. Finally we test our estimation procedures on simulated data.

Dans cet article, nous étudions le problème de l’estimation de densité ponctuelle à partir d’observations avec erreurs multiplicatives. Nous clarifions l’élément essentiel de ce problème: l’influence du point d’estimation sur la précision de l’estimation. En particulier, nous montrons que, selon que le point est éloigné de zéro ou pas, il y a deux régimes différents qui s’expriment en termes de la vitesse de convergence d’un risque minimax. Dans les deux régimes, nous développons des estimateurs de type noyau et prouvons des bornes supérieures sur leur risque maximal, ceci sur une classe convenable non paramétrique de densités. Nous montrons que les estimateurs proposés sont d’ordres optimaux en établissant des bornes inférieures correspondantes sur le risque minimax. Enfin, nous testons notre procédé d’estimation sur des données simulées.