Metastability of one-dimensional, non-reversible diffusions with periodic boundary conditions

Abstract

We consider small perturbations of a dynamical system on the one-dimensional torus. We derive sharp estimates for the pre-factor of the stationary state, we examine the asymptotic behavior of the solutions of the Hamilton–Jacobi equation for the pre-factor, we compute the capacities between disjoint sets, and we prove the metastable behavior of the process among the deepest wells following the martingale approach. We also present a bound for the probability that a Markov process hits a set before some fixed time in terms of the capacity of an enlarged process.

Nous considérons de petites perturbations d’un système dynamique sur le tore unidimensionnel. Nous obtenons des estimations précises pour le pré-facteur de l’état stationnaire, nous examinons le comportement asymptotique des solutions de l’équation de Hamilton–Jacobi pour le pré-facteur, nous calculons les capacités entre des ensembles disjoints et nous prouvons le comportement métastable du processus parmi les puits les plus profonds en suivant l’approche martingale. Nous présentons également une borne pour la probabilité qu’un processus de Markov atteigne un ensemble avant un certain instant en termes de capacité d’un processus élargi.