Regular Dirichlet extensions of one-dimensional Brownian motion

Abstract

The regular Dirichlet extension is the dual concept of regular Dirichlet subspace. The main purpose of this paper is to characterize all the regular Dirichlet extensions of one-dimensional Brownian motion and to explore their structures. It is shown that every regular Dirichlet extension of one-dimensional Brownian motion may essentially decomposed into at most countable disjoint invariant intervals and an $\mathcal{E}$-polar set relative to this regular Dirichlet extension. On each invariant interval the regular Dirichlet extension is characterized uniquely by a scale function in a given class. To explore the structure of regular Dirichlet extension we apply the idea introduced in (Ann. Probab. 45 (2017) 857–872), we formulate the trace Dirichlet forms and attain the darning process associated with the restriction to each invariant interval of the orthogonal complement of $H^{1}_{\mathrm{e}}(\mathbb{R})$ in the extended Dirichlet space of the regular Dirichlet extension. As a result, we find an answer to a long-standing problem whether a pure jump Dirichlet form has proper regular Dirichlet subspaces.

L’extension régulière de Dirichlet est la notion duale de celle de sous-espace de Dirichlet régulier. Le but principal de cet article est de caractériser toutes les extensions régulières de Dirichlet du mouvement brownien unidimensionnel et d’explorer leurs structures. On montre que chaque extension régulière du mouvement brownien unidimensionnel de Dirichlet peut essentiellement se décomposer en intervalles invariants disjoints au plus dénombrables et en un ensemble $\mathcal{E}$-polaire relatif à cette extension régulière de Dirichlet. Sur chaque intervalle invariant, l’extension régulière de Dirichlet est caractérisée de manière unique par une fonction d’échelle dans une classe donnée. Pour explorer la structure de l’extension régulière de Dirichlet, on applique l’idée introduite dans (Ann. Probab. 45 (2017) 857–872), on formule les formes de Dirichlet de trace et atteint le processus de reprise associé à la restriction à chaque intervalle invariant du complément orthogonal de $H_{e}^{1}(\mathbb{R})$ dans l’espace de Dirichlet étendu de l’extension régulière de Dirichlet. En conséquence, nous trouvons une réponse à un problème de longue date, à savoir si une forme pure de Dirichlet avec sauts comporte des sous-espaces propres de Dirichlet réguliers.