On random walk on growing graphs

Abstract

Random walk on changing graphs is considered. For sequences of finite graphs increasing monotonically towards a limiting infinite graph, we establish transition probability upper bounds. It yields sufficient transience criteria for simple random walk on slowly growing graphs, upon knowing the volume and Cheeger constant of each graph. For much more specialized cases, we establish matching lower bounds, and deduce sufficient (weak) recurrence criteria. We also address recurrence directly in relation to a universality conjecture of (Electron. J. Probab. 19 (2014) Article ID 106). We answer a related question of (Ann. Probab. 39 (2011) 1161–1203, Problem 1.8) about “inhomogeneous merging” in the negative.

Nous considérons un modèle de marche aléatoire sur un graphe dynamique. Pour une suite de graphes finis croissant vers un graphe limite infini, nous montrons une borne supérieure pour la probabilité de transition. Cela donne un critère de transience pour la marche simple, pour des graphes à croissante lente, à partir du volume et de la constante de Cheeger de chaque graphe. Pour des cas plus particuliers, nous montrons une borne inférieure du même ordre et déduisons un critère de récurrence (dans un sens faible). Nous répondons aussi à la question de la récurrence directement, en lien avec une conjecture d’universalité de (Electron. J. Probab. 19 (2014) Article ID 106). Nous répondons aussi négativement à une question reliée de (Ann. Probab. 39 (2011) 1161–1203, Problem 1.8), à propos du « plongement inhomogène ».