Brownian disks and the Brownian snake

Abstract

We provide a new construction of the Brownian disks, which have been defined by Bettinelli and Miermont as scaling limits of quadrangulations with a boundary when the boundary size tends to infinity. Our method is very similar to the construction of the Brownian map, but it makes use of the positive excursion measure of the Brownian snake which has been introduced recently. This excursion measure involves a continuous random tree whose vertices are assigned nonnegative labels, which correspond to distances from the boundary in our approach to the Brownian disk. We provide several applications of our construction. In particular, we prove that the uniform measure on the boundary can be obtained as the limit of the suitably normalized volume measure on a small tubular neighborhood of the boundary. We also prove that connected components of the complement of the Brownian net are Brownian disks, as it was suggested in the recent work of Miller and Sheffield. Finally, we show that connected components of the complement of balls centered at the distinguished point of the Brownian map are independent Brownian disks, conditionally on their volumes and perimeters.

Nous donnons une nouvelle construction des disques browniens, qui ont été définis par Bettinelli et Miermont comme limites d’échelle de quadrangulations avec frontière quand la taille de la frontière tend vers l’infini. Notre méthode est semblable à la construction de la carte brownienne, mais elle utilise la mesure d’excursion positive du serpent brownien introduite récemment. Cette mesure d’excursion implique un arbre aléatoire continu dont les sommets reçoivent des labels positifs, qui correspondent aux distances depuis la frontière dans notre approche du disque brownien. Nous donnons plusisurs applications de cette construction. En particulier, nous montrons que la mesure uniforme sur la frontière peut être obtenue comme limite de la mesure de volume (convenablement normalisée) sur un petit voisinage tubulaire de la frontière. Nous montrons aussi que les composantes connexes du complémentaire du filet brownien sont des disques browniens, comme cela est suggéré dans le travail récent de Miller et Sheffield. Finalement, nous montrons que les composantes connexes du complémentaire d’une boule centrée au point distingué de la carte brownienne sont, conditionnellement à leurs volumes et leurs périmètres, des disques browniens indépendants.