Thick points of high-dimensional Gaussian free fields

Abstract

This work aims to extend the existing results on thick points of logarithmic-correlated Gaussian Free Fields to Gaussian random fields that are more singular. To be specific, we adopt a sphere averaging regularization to study polynomial-correlated Gaussian Free Fields in higher-than-two dimensions. Under this setting, we introduce the definition of thick points which, heuristically speaking, are points where the value of the Gaussian Free Field is unusually large. We then establish a result on the Hausdorff dimension of the sets containing thick points.

Cet article a pour but d’étendre certains résultats existants sur les points épais de champs libres gaussiens a corrélation logarithmique, à des champs aléatoires gaussiens qui sont plus singuliers. Plus précisément, nous utilisons une moyenne sphérique pour étudier les champs libres gaussiens a corrélation polynomiale en dimension supérieure à 2. Dans ce contexte nous introduisons une définition des points épais qui, de manière heuristique, sont les points pour lesquels la valeur du champ libre gaussien est inhabituellement grande. Nous établissons un résultat sur la dimension de Hausdorff des ensembles contenant ces points épais.