Speed of convergence in first passage percolation and geodesicity of the average distance

Abstract

We give an elementary proof that Talagrand’s sub-Gaussian concentration inequality implies a limit shape theorem for first passage percolation on any Cayley graph of $\mathbb{Z}^{d}$, with a speed of convergence $\lesssim (\frac{\log n}{n})^{1/2}$. Our approach, which does not use the subadditive theorem, is based on proving that the average distance $\mathbb{E}d_{\omega}$ on $\mathbb{Z}^{d}$ is close to being geodesic. Our key observation, of independent interest, is that the problem of estimating the rate of convergence for the average distance is equivalent (in a precise sense) to estimating its “level of geodesicity”.

Nous démontrons de manière élémentaire que l’inégalité de concentration sous-Gaussienne de Talagrand implique le théorème de forme limite en percolation de premier passage sur un graphe de Cayley quelconque de $\mathbb{Z}^{d}$, avec un terme d’erreur $\lesssim (\frac{\log n}{n})^{1/2}$. Au lieu de nous baser sur le théorème sous-additif comme dans les approches classiques, notre preuve repose sur le fait de montrer que la distance moyenne est en un sens quantitatif, presque géodésique. Notre observation centrale, qui présente un intérêt indépendant, est que le problème d’estimer la vitesse de convergence de la distance moyenne vers la norme limite est équivalent (en un sens précis) à celui d’estimer son «niveau de géodécisité. »