Limit theorems for affine Markov walks conditioned to stay positive

Abstract

Consider the real Markov walk $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ with increments $(X_{n})_{n\geq 1}$ defined by a stochastic recursion starting at $X_{0}=x$. For a starting point $y>0$, denote by $\tau_{y}$ the exit time of the process $(y+S_{n})_{n\geq 1}$ from the positive part of the real line. We investigate the asymptotic behaviour of the probability of the event $\tau_{y}\geq n$ and of the conditional law of $y+S_{n}$ given $\tau_{y}\geq n$ as $n\to+\infty$.

On considère une marche Markovienne réelle $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ dont les accroissements $(X_{n})_{n\geq1}$ sont définis par une récursion stochastique partant de $X_{0}=x$. Pour un point de départ $y>0$, on note par $\tau_{y}$ le temps de sortie du processus $(y+S_{n})_{n\geq1}$ de la partie positive de la droite des réels. On s’intéresse au comportement asymptotique de la probabilité de l’évènement $\tau_{y}\geq n$ ainsi qu’à la loi conditionnelle de $y+S_{n}$ sachant $\tau_{y}\geq n$ quand $n\to+\infty$.