Range and critical generations of a random walk on Galton–Watson trees

Abstract

In this paper we consider a random walk in random environment on a tree and focus on the boundary case for the underlying branching potential. We study the range $R_{n}$ of this walk up to time $n$ and obtain its correct asymptotic in probability which is of order $n/\log n$. This result is a consequence of the asymptotical behavior of the number of visited sites at generations of order $(\log n)^{2}$, which turn out to be the most visited generations. Our proof which involves a quenched analysis gives a description of the typical environments responsible for the behavior of $R_{n}$.

Dans cet article nous considérons une marche aléatoire en milieu aléatoire sur un arbre, en nous concentrant sur le cas frontière du potentiel branchant sous-jacent. Nous étudions le nombre de points visités par cette marche avant l’instant $n$, $R_{n}$, et obtenons son comportement asymptotique en probabilité qui est de l’ordre de $n/\log n$. Ce résultat est une conséquence du comportement asymptotique du nombre de points visités par la marche au niveau des générations critiques, c’est à dire en $(\log n)^{2}$. La preuve permet une description des environnements typiques qui conduisent au comportement de $R_{n}$.