Tube estimates for diffusion processes under a weak Hörmander condition

Abstract

We consider a diffusion process under a local weak Hörmander condition on the coefficients. We find Gaussian estimates for the density in short time and exponential lower and upper bounds for the probability that the diffusion remains in a small tube around a deterministic trajectory (skeleton path). These bounds depend explicitly on the radius of the tube and on the energy of the skeleton path. We use a norm which reflects the non-isotropic structure of the problem, meaning that the diffusion propagates in $\mathbb{R}^{2}$ with different speeds in the directions $\sigma $ and $[\sigma,b]$. We establish a connection between this norm and the standard control distance.

On considère une diffusion dont les coefficients satisfont une condition d’Hörmander faible locale. On obtient des estimées gaussiennes de la densité en temps court et des bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la probabilité que la diffusion reste dans un petit tube autour d’une trajectoire déterministe (« squelette »). Ces bornes dépendent explicitement du rayon du tube et de l’énergie du squelette. On utilise une norme qui prend en compte la structure non isotrope du problème, dans le sens où la diffusion se propage dans $\mathbb{R}^{2}$ avec des vitesses différentes dans la direction de $\sigma$ et $[\sigma,b]$. On établit un lien entre cette norme et la distance de contrôle standard.