A rice method proof of the null-space property over the Grassmannian

Abstract

The Null-Space Property (NSP) is a necessary and sufficient condition for the recovery of the largest coefficients of solutions to an under-determined system of linear equations. Interestingly, this property governs also the success and the failure of recent developments in high-dimensional statistics, signal processing, error-correcting codes and the theory of polytopes.

Although this property is the keystone of $\ell_{1}$-minimization techniques, it is an open problem to derive a closed form for the phase transition on NSP. In this article, we provide the first proof of NSP using random processes theory and the Rice method. As a matter of fact, our analysis gives non-asymptotic bounds for NSP with respect to unitarily invariant distributions. Furthermore, we derive a simple sufficient condition for NSP.

La propriété du noyau (NSP en anglais) est une condition nécessaire et suffisante pour estimer les plus grands coefficients d’un système linéaire sous-déterminé d’équations. De manière intéressante, cette propriété gouverne aussi le succès ou l’échec de récentes approches en statistique en grandes dimensions, traitement du signal, codes correcteurs d’erreurs et la théorie des polytopes.

Bien que cette propriété soit au centre des techniques de minimisation L1, un problème ouvert reste l’obtention d’une forme explicite de la transition de phase de la propriété NSP. Dans cet article, nous donnons la première preuve de la propriété NSP du point de vue de la théorie des processus aléatoires et de la méthode de Rice. Ainsi, notre analyse conduit à de nouvelles bornes non asymptotiques pour la propriété NSP pour toute distribution invariante par rotation. De plus, nous déduisons une condition suffisante simple pour établir la propriété NSP.