Scaling limit of multitype Galton–Watson trees with infinitely many types

Abstract

We introduce a certain class of 2-type Galton–Watson trees with edge lengths. We prove that, after an adequate rescaling, the weighted height function of a forest of such trees converges in law to the reflected Brownian motion. We then use this to deduce under mild conditions an invariance principle for multitype Galton–Watson trees with a countable number of types, thus extending a result of G. Miermont on multitype Galton–Watson trees with finitely many types.

Nous introduisons une certaine classe d’arbres de Galton–Watson à deux types avec longueurs d’arêtes. Nous prouvons qu’après une renormalisation adéquate, la fonction de hauteur pondérée d’une forêt de tels arbres converge en loi vers le mouvement brownien réfléchi. Nous déduisons ensuite de ceci, sous des hypothèses raisonnables, un principe d’invariance sur les arbres de Galton–Watson multitypes à ensemble de type dénombrable, étendant ainsi un résultat de G. Miermont sur les arbres de Galton–Watson multitypes à ensemble de types fini.