The Liouville property for groups acting on rooted trees

Abstract

We show that on groups generated by bounded activity automata, every symmetric, finitely supported probability measure has the Liouville property. More generally we show this for every group of automorphisms of bounded type of a rooted tree. For automaton groups, we also give a uniform upper bound for the entropy of convolutions of every symmetric, finitely supported measure.

Nous démontrons que les groupes engendrés par les automates d’activité bornée ont la propriété de Liouville pour tout choix d’une mesure de probabilité symétrique, de support fini. Plus généralement, nous montrons ce résultat pour tous les groupes agissants sur un arbre enraciné par automorphismes de type borné. Dans le cas des groupes d’automate nous obtenons aussi une borne supérieure uniforme pour l’entropie, qui ne dépend pas du choix de la mesure symétrique, de support fini.