Maximal displacement of critical branching symmetric stable processes

Abstract

We consider a critical continuous-time branching process (a Yule process) in which the individuals independently execute symmetric $\alpha$-stable random motions on the real line starting at their birth points. Because the branching process is critical, it will eventually die out, and so there is a well-defined maximal location $M$ ever visited by an individual particle of the process. We prove that the distribution of $M$ satisfies the asymptotic relation $P\{M\geq x\}\sim(2/\alpha)^{1/2}x^{-\alpha/2}$ as $x\rightarrow\infty$.

Nous considérons un processus de branchement en temps continu critique (processus de Yule) dont les individus suivent indépendamment un processus $\alpha$-stable symétrique réel issu de leur point de naissance. Le processus de branchement étant critique, il s’éteint presque surement et nous pouvons définir la valeur $M$ qui représente la position maximale jamais atteinte par un individu. Nous montrons que la distribution de $M$ satisfait l’estimée asymptotique suivante : $P\{M\ge x\}\sim (2/\alpha)^{1/2}x^{-\alpha/2}$.