Harmonic measure in the presence of a spectral gap

Abstract

We study harmonic measure in finite graphs with an emphasis on expanders, that is, positive spectral gap. It is shown that if the spectral gap is positive then for all sets that are not too large the harmonic measure from a uniform starting point is not more than a constant factor of the uniform measure on the set. For large sets there is a tight logarithmic correction factor. We also show that positive spectral gap does not allow for a fixed proportion of the harmonic measure of sets to be supported on small subsets, in contrast to the situation in Euclidean space. The results are quantitative as a function of the spectral gap, and apply also when the spectral gap decays to $0$ as the size of the graph grows to infinity. As an application we consider a model of diffusion limited aggregation, or $\mathsf{DLA}$, on finite graphs, obtaining upper bounds on the growth rate of the aggregate.

On étudie la mesure harmonique sur les graphes finis en s’intéressant de près au cas des expanseurs, c’est à dire des graphes dont le trou spectral est positif. On montrera que dans ce cas, pour tout sous-ensemble pas trop gros, la mesure harmonique vue d’un point uniforme est bornée par un facteur multiplicatif fois la mesure uniforme sur l’ensemble. Pour les gros ensembles il y a une correction logarithmique tendue. On montrera aussi que dans le cas d’un trou spectral positif, une proportion constante de la mesure harmonique ne peut pas être supportée par de petits sous-ensembles, contrairement à ce qui se passe dans le cas euclidien. Des résultats quantitatifs sont présentés en fonction de la taille du trou spectral, et s’appliquent aussi lorsque cette taille tend vers $0$ lorsque la taille du graphe tend vers l’infini. En application, on considèrera un modèle d’agrégation limitée par diffusion ($\mathsf{DLA}$) sur des graphes finis, pour obtenir des bornes supérieures sur la croissance de l’aggrégat.