Functional inequalities for convolution probability measures

Abstract

Let $\mu$ and $\nu$ be two probability measures on $\mathbb{R}^{d}$, where $\mu(\mathrm{d}x)=\frac{\mathrm{e}^{-V(x)}\,\mathrm{d}x}{\int_{\mathbb{R}^{d}}\mathrm{e}^{-V(x)}\,\mathrm{d}x}$ for some $V\in C^{1}(\mathbb{R}^{d})$. Explicit sufficient conditions on $V$ and $\nu$ are presented such that $\mu*\nu$ satisfies the log-Sobolev, Poincaré and super Poincaré inequalities. In particular, if $V(x)=\lambda |x|^{2}$ for some $\lambda >0$ and $\nu(\mathrm{e}^{\lambda \theta|\cdot|^{2}})<\infty$ for some $\theta>1$, then $\mu*\nu$ satisfies the log-Sobolev inequality. This improves and extends the recent results on the log-Sobolev inequality derived in (J. Funct. Anal. 265 (2013) 1064–1083) for convolutions of the Gaussian measure and compactly supported probability measures. On the other hand, it is well known that the log-Sobolev inequality for $\mu*\nu$ implies $\nu(\mathrm{e}^{\varepsilon |\cdot|^{2}})<\infty$ for some $\varepsilon >0$.

Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^{d}$, où $\mu(\mathrm{d}x)=\frac{\mathrm{e}^{-V(x)}\,\mathrm{d}x}{\int_{\mathbb{R}^{d}}\mathrm{e}^{-V(x)}\,\mathrm{d}x}$ avec $V\in C^{1}(\mathbb{R}^{d})$. Des conditions explicites suffisantes sur $V$ et $\nu$ sont présentées telles que $\mu*\nu$ satisfait des inégalités de Sobolev logarithmique, de Poincaré et de super-Poincaré. En particulier, si $V(x)=\lambda |x|^{2}$ pour quelque $\lambda >0$ et $\nu(\mathrm{e}^{\lambda \theta|\cdot|^{2}})<\infty$ avec $\theta>1$, alors $\mu*\nu$ satisfait l’inégalité de Sobolev logarithmique. Cela améliore et étend des résultats récents sur l’inégalité de Sobolev logarithmique obtenus dans (J. Funct. Anal. 265 (2013) 1064–1083) pour des convolutions de la mesure de Gauss et des mesures de probabilité à support compact. D’autre part, il est bien connu que l’inégalité de Sobolev logarithmique pour $\mu*\nu$ implique $\nu(\mathrm{e}^{\varepsilon |\cdot|^{2}})<\infty$ pour quelque $\varepsilon >0$.