Connectedness of Poisson cylinders in Euclidean space

Abstract

We consider the Poisson cylinder model in $\mathbb{R}^{d}$, $d\ge3$. We show that given any two cylinders ${\mathfrak{c}}_{1}$ and ${\mathfrak{c}}_{2}$ in the process, there is a sequence of at most $d-2$ other cylinders creating a connection between ${\mathfrak{c}}_{1}$ and ${\mathfrak{c}}_{2}$. In particular, this shows that the union of the cylinders is a connected set, answering a question appearing in (Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 165–191). We also show that there are cylinders in the process that are not connected by a sequence of at most $d-3$ other cylinders. Thus, the diameter of the cluster of cylinders equals $d-2$.

Nous considérons un modèle de cylindres suivant un processus de Poisson dans $\mathbb{R}^{d}$, $d\ge3$. Nous montrons que étant donnés deux cylindres ${\mathfrak{c}}_{1}$ et ${\mathfrak{c}}_{2}$ dans le processus, il y a une séquence d’au plus $d-2$ autres cylindres qui créent une connexion entre ${\mathfrak{c}}_{1}$ et ${\mathfrak{c}}_{2}$. En particulier, ceci montre que l’union des cylindres est un ensemble connecté, et répond à une question posée par (Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 165–191). Nous montrons aussi qu’il y a des cylindres dans le processus qui ne sont pas connectés par une séquence d’au plus $d-3$ autres cylindres. Donc, le diamètre de l’amas de cylindres est égal à $d-2$.