Parametric first-order Edgeworth expansion for Markov additive functionals. Application to $M$-estimations

Abstract

We give a spectral approach to prove a parametric first-order Edgeworth expansion for bivariate additive functionals of strongly ergodic Markov chains. In particular, given any $V$-geometrically ergodic Markov chain $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ whose distribution depends on a parameter $\theta$, we prove that $\{\xi_{p}(X_{n-1},X_{n});p\in\mathcal{P} ,n\geq1\}$ satisfies a uniform (in $(\theta,p)$) first-order Edgeworth expansion provided that $\{\xi_{p}(\cdot,\cdot);p\in\mathcal{P} \}$ satisfies some non-lattice condition and an almost optimal moment domination condition. Furthermore, the sequence $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ need not be stationary. This result is applied to $M$-estimators of Markov chains and in particular of $V$-geometrically ergodic Markov chains. The $M$-estimators of some autoregressive processes are studied.

Grâce à une approche spectrale, nous donnons des conditions assurant la validité du développement d’Edgeworth d’ordre 1 paramétrique, dans le cadre général des fonctionnelles bivariées et additives de chaînes de Markov fortement ergodiques. En particulier, soit $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ une chaîne de Markov $V$-géométriquement ergodique dont la loi dépend d’un paramètre $\theta$. Nous montrons alors que $\{\xi_{p}(X_{n-1},X_{n});p\in\mathcal{P} ,n\geq1\}$ satisfait un développement d’Edgeworth d’ordre 1 uniforme (en $(\theta,p)$) si $\{\xi_{p}(\cdot,\cdot);p\in\mathcal{P} \}$ satisfait une condition de type non-lattice ainsi qu’une condition quasi-optimale de moment-domination. De plus, ce résultat est établi dans le cas où les données $(X_{n})_{n\in\mathbb{N} }$ ne sont pas nécessairement stationnaires. Ce résultat est appliqué en particulier aux $M$-estimateurs associés à des chaînes de Markov $V$-géométriquement ergodiques. Les $M$-estimateurs de processus autorégressifs sont étudiés.