Phase transition for the vacant set left by random walk on the giant component of a random graph

Abstract

We study the simple random walk on the giant component of a supercritical Erdős–Rényi random graph on $n$ vertices, in particular the so-called vacant set at level $u$, the complement of the trajectory of the random walk run up to a time proportional to $u$ and $n$. We show that the component structure of the vacant set exhibits a phase transition at a critical parameter $u_{\star}$: For $u<u_{\star}$ the vacant set has with high probability a unique giant component of order $n$ and all other components small, of order at most $\log^{7}n$, whereas for $u>u_{\star}$ it has with high probability all components small. Moreover, we show that $u_{\star}$ coincides with the critical parameter of random interlacements on a Poisson–Galton–Watson tree, which was identified in (Electron. Commun. Probab. 15 (2010) 562–571).

Nous étudions la marche aléatoire sur la composante principale d’un graphe aléatoire d’Erdős–Rényi avec $n$ sommets, en particulier l’ensemble vacant au niveau $u$, le complément de la trajectoire de la marche aléatoire jusqu’à un moment proportionnel à $u$ et $n$. Nous prouvons que la structure de composant montre une transition de phase à un valeur critique $u_{\star}$ : Pour $u<u_{\star}$ l’ensemble vacant se compose, avec une forte probabilité quand $n$ croît, d’une seule composante principale avec volume d’ordre $n$ et des composantes petites d’ordre au plus $\log^{7}n$, alors que pour $u>u_{\star}$ tous les composants sont petits. En outre nous montrons que $u_{\star}$ coïncide avec le paramètre critique des entrelacs aléatoires sur un arbre de Poisson–Galton–Watson identifié en (Electron. Commun. Probab. 15 (2010) 562–571).