Spectral condition, hitting times and Nash inequality

Abstract

Let $X$ be a $\mu$-symmetric Hunt process on a LCCB space $\mathtt{E}$. For an open set $\mathtt{G}\subseteq\mathtt{E}$, let $\tau_{\mathtt{G}}$ be the exit time of $X$ from $\mathtt{G}$ and $A^{\mathtt{G}}$ be the generator of the process killed when it leaves $\mathtt{G}$. Let $r:[0,\infty[\,\to[0,\infty[$ and $R(t)=\int_{0}^{t}r(s)\,\mathrm{d} s$.

We give necessary and sufficient conditions for $\mathbb{E}_{\mu}R(\tau_{\mathtt{G}})<\infty$ in terms of the behavior near the origin of the spectral measure of $-A^{\mathtt{G}}$. When $r(t)=t^{l}$, $l\geq0$, by means of this condition we derive the Nash inequality for the killed process.

In the diffusion case this permits to show that the existence of moments of order $l+1$ for $\tau_{\mathtt{G}}$ implies the Nash inequality of order $p=\frac{l+2}{l+1}$ for the whole process. The associated rate of convergence of the semi-group in $\mathbb{L}^{2}(\mu)$ is bounded by $t^{-(l+1)}$.

Finally, we show for general Hunt processes that the Nash inequality giving rise to a convergence rate of order $t^{-(l+1)}$ of the semi-group implies the existence of moments of order $l+1-\varepsilon$ for $\tau_{\mathtt{G}}$, for all $\varepsilon>0$.

Soit $X$ un processus de Hunt $\mu$-symétrique à valeurs dans un espace LCCB $\mathtt{E}$. Pour un ouvert $\mathtt{G}\subseteq\mathtt{E}$, soit $\tau_{\mathtt{G}}$ le temps de sortie de $\mathtt{G}$ par $X$ et $A^{\mathtt{G}}$ le générateur du processus tué lorsqu’il quitte $\mathtt{G}$. Soit $r:[0,\infty[\,\to[0,\infty[$ et $R(t)=\int_{0}^{t}r(s)\,\mathrm{d} s$.

Nous établissons des conditions nécéssaires et suffisantes pour que $\mathbb{E}_{\mu}R(\tau_{\mathtt{G}})<\infty$. Ces conditions sont données en termes du comportement au voisinage de zéro de la mesure spectrale de $-A^{\mathtt{G}}$ Dans le cas ou $r(t)=t^{l}$, $l\geq0$, en utilisant ces conditions, à partir de $\mathbb{E}_{\mu}R(\tau_{\mathtt{G}})<\infty$ nous déduisons l’inégalité de Nash pour le processes tué.

Dans le cas d’un processus de diffusion cela permet de montrer que l’existence des moments d’ordre $l+1$ pour $\tau_{\mathtt{G}}$ implique l’inégalité de Nash d’ordre $p=\frac{l+2}{l+1}$ pour le processus $X$. La vitesse de convergence du semi-groupe dans $\mathbb{L}^{2}(\mu)$ est donnée par $t^{-(l+1)}$.

Finalement pour un processus de Hunt $\mu$-symétrique à valeurs dans un espace LCCB nous montrons que l’inégalité de Nash donnant lieu à la convergence du semi-groupe avec la vitesse $t^{-(l+1)}$ implique l’existence des moments d’ordre $l+1-\varepsilon$ pour $\tau_{\mathtt{G}}$, pour tout $\varepsilon>0$.