Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques

Densité des orbites des trajectoires browniennes sous l’action de la transformation de Lévy

Jean Brossard and Christophe Leuridan

Full-text: Open access

Résumé

Soit T une transformation mesurable d’un espace probabilisé $(E,\mathcal {E},\pi)$ préservant la mesure π et soit $B\in \mathcal {E}$. Nous donnons une condition suffisante pour que l’orbite sous T de π-presque tout point visite B : il suffit que B soit accessible depuis π-presque tout point pour une chaîne de Markov de noyau K, où K(⋅, ⋅) est une version régulière de la loi conditionnelle de X sachant T(X) lorsque X est une variable aléatoire de loi π.

Nous appliquons ensuite ce résultat général à la transformation de Lévy, qui à un mouvement brownien W associe le mouvement brownien |W| − LL est le temps local en 0 de W. Cela nous permet de donner une nouvelle démonstration du théorème de Malric qui affirme que l’orbite sous la transformation de Lévy de presque toute trajectoire visite tout ouvert non vide de l’espace de Wiener pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

Abstract

Let T be a measurable transformation of a probability space $(E,\mathcal {E},\pi)$, preserving the measure π. Let X be a random variable with law π. Call K(⋅, ⋅) a regular version of the conditional law of X given T(X). Fix $B\in \mathcal {E}$. We first prove that if B is reachable from π-almost every point for a Markov chain of kernel K, then the T-orbit of π-almost every point X visits B.

We then apply this result to the Lévy transform, which transforms the Brownian motion W into the Brownian motion |W| − L, where L is the local time at 0 of W. This allows us to get a new proof of Malric’s theorem which states that the orbit under the Lévy transform of almost every path is dense in the Wiener space for the topology of uniform convergence on compact sets.

Article information

Source
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 48, Number 2 (2012), 477-517.

Dates
First available in Project Euclid: 11 April 2012

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https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1334148208

Digital Object Identifier
doi:10.1214/11-AIHP463

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2954264

Zentralblatt MATH identifier
1248.37014

Subjects
Primary: 37A50: Relations with probability theory and stochastic processes [See also 60Fxx and 60G10] 28D05: Measure-preserving transformations 60J65: Brownian motion [See also 58J65]

Keywords
Brownian motion Lévy transform Density of orbits Recurrence Ergodicity

Citation

Brossard, Jean; Leuridan, Christophe. Densité des orbites des trajectoires browniennes sous l’action de la transformation de Lévy. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48 (2012), no. 2, 477--517. doi:10.1214/11-AIHP463. https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1334148208


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References

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