We prove several facts concerning Lipschitz percolation, including the following. The critical probability p_L for the existence of an open Lipschitz surface in site percolation on ℤ^d with d ≥ 2 satisfies the improved bound p_L ≤ 1 − 1/[8(d − 1)]. Whenever p > p_L, the height of the lowest Lipschitz surface above the origin has an exponentially decaying tail. For p sufficiently close to 1, the connected regions of ℤ^d−1 above which the surface has height 2 or more exhibit stretched-exponential tail behaviour. The last statement is proved via a stochastic inequality stating that the lowest surface is dominated stochastically by the boundary of a union of certain independent, identically distributed random subsets of ℤ^d.

Nous démontrons plusieurs résultats concernant la percolation Lipschitzienne. La probabilité critique p_L pour l’existence d’une surface Lipschitzienne ouverte dans la percolation par site sur ℤ^d (lorsque d ≥ 2) satisfait l’estimation améliorée p_L ≤ 1 − 1/[8(d − 1)]. Pour tout p > p_L, la hauteur de la plus basse surface Lipschitzienne au-dessus de l’origine a une queue qui décroît exponentiellement vite. Lorsque p est suffisamment proche de 1, la taille des régions connexes de ℤ^d−1 au-dessus desquelles cette surface a une hauteur supérieure ou égale à 2 possède un comportement exponentiel étiré. Ce dernier résultat provient d’une inégalité stochastique qui montre que la plus basse surface est dominée stochastiquement par la frontière de l’union de certains ensembles aléatoires de ℤ^d indépendants et identiquement distribués.

We consider a planar Poisson process and its associated Voronoi map. We show that there is a proper coloring with 6 colors of the map which is a deterministic isometry-equivariant function of the Poisson process. As part of the proof we show that the 6-core of the corresponding Delaunay triangulation is empty.

Generalizations, extensions and some open questions are discussed.

Nous étudions un processus de Poisson planaire et sa partition de Voronoi associée. Nous montrons qu’il existe une coloration à six couleurs de cette partition satisfaisant les deux propriétés suivantes : la coloration est une fonction déterministe du processus de Poisson. Par ailleurs, elle commute avec les isométries du plan. Une partie de la preuve consiste à montrer que le “6-core” de la triangulation de Delaunay associée est vide.

Des généralisations, extensions et problèmes ouverts sont discutés.

G. Edelman, O. Sporns and G. Tononi have introduced the neural complexity of a family of random variables, defining it as a specific average of mutual information over subfamilies. We show that their choice of weights satisfies two natural properties, namely invariance under permutations and additivity, and we call any functional satisfying these two properties an intricacy. We classify all intricacies in terms of probability laws on the unit interval and study the growth rate of maximal intricacies when the size of the system goes to infinity. For systems of a fixed size, we show that maximizers have small support and exchangeable systems have small intricacy. In particular, maximizing intricacy leads to spontaneous symmetry breaking and lack of uniqueness.

G. Edelman, O. Sporns and G. Tononi ont introduit la complexité neuronale d’une famille de variables aléatoires, définie comme une certaine moyenne de l’information mutuelle de ses sous-familles. On montre ici que leur choix des poids satisfait deux propriétés naturelles: l’invariance par permutations et l’additivité. Nous appelons toute fonctionnelle satisfaisant ces deux propriétés une intrication. Nous classifions toutes les intrications en termes de mesures de probabilité sur l’intervalle unité et nous étudions le taux de croissance du maximum de l’intrication quand la taille du système tend vers l’infini. Pour un système de taille fixée, nous montrons que les maximiseurs ont un petit support et que les systèmes échangeables ont une petite intrication. En particulier, maximiser l’intrication mène à une rupture spontanée de symétrie et il n’y a pas d’unicité.

We prove that the notions of Krengel entropy and Poisson entropy for infinite-measure-preserving transformations do not always coincide: We construct a conservative infinite-measure-preserving transformation with zero Krengel entropy (the induced transformation on a set of measure 1 is the Von Neumann–Kakutani odometer), but whose associated Poisson suspension has positive entropy.

Nous prouvons que les notions d’entropie de Krengel et d’entropie de Poisson pour les transformations préservant une mesure infinie ne coïncident pas toujours : nous construisons une transformation conservative préservant une mesure infinie qui a une entropie de Krengel nulle (la transformation induite sur un ensemble de mesure 1 est l’odomètre de Von Neumann–Kakutani), mais dont la suspension de Poisson a une entropie strictement positive.

We consider the autoregressive model on ℝ^d defined by the stochastic recursion X_n = A_nX_n−1 + B_n, where {(B_n, A_n)} are i.i.d. random variables valued in ℝ^d × ℝ⁺. The critical case, when $\mathbb{E}[\log A_{1}]=0$, was studied by Babillot, Bougerol and Elie, who proved that there exists a unique invariant Radon measure ν for the Markov chain {X_n}. In the present paper we prove that the weak limit of properly dilated measure ν exists and defines a homogeneous measure on ℝ^d ∖ {0}.

Nous considérons le modèle autorégressif sur ℝ^d défini par récurrence par l’équation stochastique X_n = A_nX_n−1 + B_n, où {(B_n, A_n)} sont des variables aléatoires à valeurs dans ℝ^d × ℝ⁺, indépendantes et de même loi. Le cas critique, c’est-à-dire lorsque $\mathbb{E}[\logA_{1}]=0$, a été étudié par Babillot, Bougerol et Elie, qui ont montré qu’il existe une et une seule mesure de Radon ν invariante pour la chaîne de Markov {X_n}. Dans ce papier nous démontrons que la mesure ν, convenablement dilatée, converge faiblement vers une mesure homogène sur ℝ^d ∖ {0}.

Let $(X_{t},Y_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ be a discrete or continuous-time Markov process with state space $\mathbb {X}\times \mathbb {R}^{d}$ where $\mathbb {X}$ is an arbitrary measurable set. Its transition semigroup is assumed to be additive with respect to the second component, i.e. $(X_{t},Y_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ is assumed to be a Markov additive process. In particular, this implies that the first component $(X_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ is also a Markov process. Markov random walks or additive functionals of a Markov process are special instances of Markov additive processes. In this paper, the process $(Y_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ is shown to satisfy the following classical limit theorems:

(a) the central limit theorem,

(b) the local limit theorem,

(c) the one-dimensional Berry–Esseen theorem,

(d) the one-dimensional first-order Edgeworth expansion,

provided that we have $\sup_{t\in(0,1]\cap \mathbb {T}}\mathbb {E}_{\pi,0}[|Y_{t}|^{\alpha}]\textless\infty$ with the expected order α with respect to the independent case (up to some ε > 0 for (c) and (d)). For the statements (b) and (d), a Markov nonlattice condition is also assumed as in the independent case. All the results are derived under the assumption that the Markov process $(X_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ has an invariant probability distribution π, is stationary and has the $\mathbb {L}^{2}(\pi)$-spectral gap property (that is, (X_t)_t∈ℕ is ρ-mixing in the discrete-time case). The case where $(X_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ is non-stationary is briefly discussed. As an application, we derive a Berry–Esseen bound for the M-estimators associated with ρ-mixing Markov chains.

Soit $(X_{t},Y_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ un processus de Markov en temps discret ou continu et d’espace d’état $\mathbb {X}\times \mathbb {R}^{d}$ où $\mathbb {X}$ est un ensemble mesurable quelconque. Son semi-groupe de transition est supposé additif suivant la seconde composante, i.e. $(X_{t},Y_{t})_{t\in\mathbb {T}}$ est un processus additif Markovien. En particulier, ceci implique que la première composante $(X_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ est également un processus de Markov. Les marches aléatoires Markoviennes ou les fonctionnelles additives d’un processus de Markov sont des exemples de processus additifs Markoviens. Dans cet article, on montre que le processus $(Y_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ satisfait les théorèmes limites classiques suivants :

(a) le théorème de la limite centrale,

(b) le théorème limite local,

(c) le théorème uniforme de Berry–Esseen en dimension un,

(d) le développement d’Edgeworth d’ordre un en dimension un,

pourvu que la condition de moment $\sup_{t\in(0,1]\cap \mathbb {T}}\mathbb {E}_{\pi,0}[|Y_{t}|^{\alpha}]\textless\infty$ soit satisfaite, avec l’ordre attendu α du cas indépendant (à un ε > 0 près pour (c) et (d)). Pour les énoncés (b) et (d), il faut ajouter une condition nonlattice comme dans le cas indépendant. Tous les résultats sont obtenus sous l’hypothèse d’un processus de Markov $(X_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ admettant une mesure de probabilité invariante π et possédant la propriété de trou spectral sur $\mathbb {L}^{2}(\pi)$ (c’est à dire, (X_t)_t∈ℕ est ρ-mélangeante dans le cas du temps discret). Le cas où $(X_{t})_{t\in \mathbb {T}}$ est non-stationnaire est brièvement abordé. Nous appliquons nos résultats pour obtenir une borne de Berry–Esseen pour les M-estimateurs associés aux chaînes de Markov ρ-mélangeantes.

We consider n × n random k-circulant matrices with n → ∞ and k = k(n) whose input sequence {a_l}_l≥0 is independent and identically distributed (i.i.d.) random variables with finite (2 + δ) moment. We study the asymptotic distribution of the spectral radius, when n = k^g + 1. For this, we first derive the tail behaviour of the g fold product of i.i.d. exponential random variables. Then using this tail behaviour result and appropriate normal approximation techniques, we show that with appropriate scaling and centering, the asymptotic distribution of the spectral radius is Gumbel. We also identify the centering and scaling constants explicitly.

Nous considérons des matrices aléatoires k-circulantes de taille n × n avec n → ∞ et k = k(n), dont les entrées {a_l}_l≥0 sont des variables aléatoires, de moment (2 + δ) fini, indépendantes et identiquement distribuées. Nous étudions la distribution asymptotique du rayon spectral, lorsque n = k^g + 1. Pour établir cette distribution asymptotique, nous calculons d’abord le comportement de la queue du produit de g variables aléatoires exponentielles i.i.d. Ensuite, en utilisant un résultat sur le comportement des queues et les techniques appropriées d’approximation normale, nous montrons que, après renormalisation et recentrage, la distribution limite est une distribution de Gumbel. Nous identifions explicitement les constantes de recentrage et de remise à l’échelle.

In many applications, one needs to make statistical inference on the parameters defined by the limiting spectral distribution of an F matrix, the product of a sample covariance matrix from the independent variable array (X_jk)_p×n1 and the inverse of another covariance matrix from the independent variable array (Y_jk)_p×n2. Here, the two variable arrays are assumed to either both real or both complex. It helps to find the asymptotic distribution of the relevant parameter estimators associated with the F matrix. In this paper, we establish the central limit theorems with explicit expressions of means and covariance functions for the linear spectral statistics of the large dimensional F matrix, where the dimension p of the two samples tends to infinity proportionally to the sample sizes (n₁, n₂). Moreover, the assumptions of the i.i.d. structures of arrays (X_jk)_p×n1, (Y_jk)_p×n2 and the restriction of the fourth moments equaling 2 or 3 made in Bai and Silverstein (Ann. Probab. 32 (2004) 553–605) are relaxed to that arrays (X_jk)_p×n1 and (Y_jk)_p×n2 are independent respectively but not necessarily identically distributed except for a common fourth moment for each array. As a consequence, we obtain the central limit theorems for the linear spectral statistics of the beta matrix that is of the form (I + d ⋅ F matrix)⁻¹, where d is a constant and I is an identity matrix.

Dans beaucoup d’applications, on cherche à effectuer une inférence statistique sur des paramètres définis à partir de la mesure spectrale d’une F-matrice, matrice obtenue comme le produit d’une matrice de covariance du tableau de variables indépendantes (X_jk)_p×n1 et de l’inverse d’une autre matrice de covariance (Y_jk)_p×n2. Les variables sont soient toutes réelles soient complexes. Il est donc utile d’étudier les distributions asymptotiques des estimateurs de ces paramètres associés à la F-matrice. Dans cet article, nous établissons des théorèmes centraux limites pour les statistiques linéaires du spectre de la F-matrice dans la limite où p, n₁, n₂ tendent vers l’infini en restant de même ordre, et donnons des formules exactes pour leurs moyennes et covariances. De plus, l’hypothèse que les variables (X_jk)_p×n1 et (Y_jk)_p×n2 sont i.i.d. et la restriction que le quatrième moment est égal à 2 ou 3 comme dans Bai et Silverstein (Ann. Probab. 32 (2004) 553–605) sont affaiblies de la manière suivante; les coefficients (X_jk)_p×n1 et (Y_jk)_p×n2 sont indépendants mais non nécessairement équidistribués, pourvu qu’ils aient le même quatrième moment dans chaque tableau. Par conséquent, nous obtenons le théorème de la limite centrale pour les statistiques linéaires de la matrice beta qui est de la forme (I + d ⋅ F matrix)⁻¹, où d est une constante et I la matrice identité.

Soit T une transformation mesurable d’un espace probabilisé $(E,\mathcal {E},\pi)$ préservant la mesure π et soit $B\in \mathcal {E}$. Nous donnons une condition suffisante pour que l’orbite sous T de π-presque tout point visite B : il suffit que B soit accessible depuis π-presque tout point pour une chaîne de Markov de noyau K, où K(⋅, ⋅) est une version régulière de la loi conditionnelle de X sachant T(X) lorsque X est une variable aléatoire de loi π.

Nous appliquons ensuite ce résultat général à la transformation de Lévy, qui à un mouvement brownien W associe le mouvement brownien |W| − L où L est le temps local en 0 de W. Cela nous permet de donner une nouvelle démonstration du théorème de Malric qui affirme que l’orbite sous la transformation de Lévy de presque toute trajectoire visite tout ouvert non vide de l’espace de Wiener pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

Let T be a measurable transformation of a probability space $(E,\mathcal {E},\pi)$, preserving the measure π. Let X be a random variable with law π. Call K(⋅, ⋅) a regular version of the conditional law of X given T(X). Fix $B\in \mathcal {E}$. We first prove that if B is reachable from π-almost every point for a Markov chain of kernel K, then the T-orbit of π-almost every point X visits B.

We then apply this result to the Lévy transform, which transforms the Brownian motion W into the Brownian motion |W| − L, where L is the local time at 0 of W. This allows us to get a new proof of Malric’s theorem which states that the orbit under the Lévy transform of almost every path is dense in the Wiener space for the topology of uniform convergence on compact sets.

In this article, we study the numerical approximation of stochastic differential equations driven by a multidimensional fractional Brownian motion (fBm) with Hurst parameter greater than 1/3. We introduce an implementable scheme for these equations, which is based on a second-order Taylor expansion, where the usual Lévy area terms are replaced by products of increments of the driving fBm. The convergence of our scheme is shown by means of a combination of rough paths techniques and error bounds for the discretization of the Lévy area terms.

Nous étudions dans cet article l’approximation numérique d’équations différentielles dirigées par un mouvement brownien fractionnaire (mBf) de coefficient de Hurst H > 1/3. L’algorithme effectif que nous proposons repose sur un développement au second ordre, où l’aire de Lévy est remplacée par un produit d’incréments du mBf. Nous obtenons la convergence de notre schéma en combinant des méthodes issues de la théorie des trajectoires rugueuses et des résultats sur l’approximation de l’aire de Lévy.

We apply dynamical ideas within probability theory, proving an almost-sure invariance principle in log density for stable processes. The familiar scaling property (self-similarity) of the stable process has a stronger expression, that the scaling flow on Skorokhod path space is a Bernoulli flow. We prove that typical paths of a random walk with i.i.d. increments in the domain of attraction of a stable law can be paired with paths of a stable process so that, after applying a non-random regularly varying time change to the walk, the two paths are forward asymptotic in the flow except for a set of times of density zero. This implies that a.e. time-changed random walk path is a generic point for the flow, i.e. it gives all the expected time averages. For the Brownian case, making use of known results in the literature, one has a stronger statement: the random walk and the Brownian paths are forward asymptotic under the scaling flow (now with no exceptional set of times), at an exponential rate given by the moment assumption.

En appliquant des idées venues des systèmes dynamiques aux probabilités, nous prouvons un principe d’invariance presque sûr au sens de la densité logarithmique pour des processus stables. L’auto-similarité d’un processus stable revêt une expression plus forte, celle de la Bernoullicité du flot d’échelle agissant sur l’espace de Skorokhod des trajectoires. Nous montrons qu’il existe un couplage de la marche aléatoire à accroissements i.i.d. dans le domaine d’attraction d’une loi stable et d’un processus stable tel que presque sûrement, après un changement de temps déterministe et à variation régulière, sous l’action du flot d’échelle, les deux processus soient asymptotiques dans le futur sauf pour un ensemble de temps de densité nulle. Il en découle que presque toute marche (à un changement de temps près) est un point générique du flot. Dans le cas brownien, compte-tenu de résultats bien connus dans la littérature, nous avons un résultat plus fort : sous l’action du flot, les trajectoires de la marche et du brownien sont asymptotiques dans le futur avec une vitesse exponentielle donnée par l’hypothèse de moment.

For a set A ⊂ C[0, ∞), we give new results on the growth of the number of particles in a branching Brownian motion whose paths fall within A. We show that it is possible to work without rescaling the paths. We give large deviations probabilities as well as a more sophisticated proof of a result on growth in the number of particles along certain sets of paths. Our results reveal that the number of particles can oscillate dramatically. We also obtain new results on the number of particles near the frontier of the model. The methods used are entirely probabilistic.

Considérons un mouvement Brownien branchant. Nous nous intéressons au nombre de particules dont le chemin reste dans un ensemble fixé A ⊂ C[0, ∞). Nous montrons qu’il n’est pas nécessaire de renormaliser les chemins. Nous donnons les probabilités de grandes déviations, ainsi qu’une preuve plus sophistiquée pour un résultat concernant la croissance du nombre de particules dans certains ensembles. Nos résultats démontrent que ce nombre de particules peut fortement osciller. Nous obtenons aussi des résultats nouveaux concernant le nombre de particules proches de la frontière du système. Nos méthodes sont purement probabilistes.