On the global maximum of the solution to a stochastic heat equation with compact-support initial data

Abstract

Consider a stochastic heat equation ∂_tu=κ ∂_xx²u+σ(u)ẇ for a space–time white noise ẇ and a constant κ>0. Under some suitable conditions on the initial function u₀ and σ, we show that the quantities

lim sup _t→∞t⁻¹sup _x∈Rln El(|u_t(x)|²) and lim sup _t→∞t⁻¹ln E(sup _x∈R|u_t(x)|²)

are equal, as well as bounded away from zero and infinity by explicit multiples of 1/κ. Our proof works by demonstrating quantitatively that the peaks of the stochastic process x↦u_t(x) are highly concentrated for infinitely-many large values of t. In the special case of the parabolic Anderson model – where σ(u)=λu for some λ>0 – this “peaking” is a way to make precise the notion of physical intermittency.

Nous considérons l’équation de la chaleur stochastique ∂_tu=κ∂_xx²u+σ(u)ẇ avec un bruit blanc spatio-temporel ẇ et une constante κ>0. Sous des conditions adéquates sur la condition initiale u₀ et sur σ, nous montrons que les quantités

lim sup _t→∞t⁻¹sup _x∈Rln E(|u_t(x)|²) et lim sup _t→∞t⁻¹ln E(sup _x∈R|u_t(x)|²)

sont égales. Par ailleurs, nous les bornons inférieurement et supérieurement par des constantes strictement positives et finies dépendant explicitement de 1/κ. Nos démonstrations reposent sur la preuve quantitative de la forte concentration des pics du processus x↦u_t(x) pour de grandes valeurs de t infiniment nombreuses. Dans le cas particulier du modèle d’Anderson parabolique-où σ(u)=λu pour un λ>0 – ce phénomène de pics est une façon de préciser la notion physique d’intermittence.