Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques

Maximal Brownian motions

Jean Brossard, Michel Émery, and Christophe Leuridan

Full-text: Open access

Abstract

Let Z=(X, Y) be a planar Brownian motion, $\mathcal{Z}$ the filtration it generates, and B a linear Brownian motion in the filtration $\mathcal{Z}$. One says that B (or its filtration) is maximal if no other linear $\mathcal{Z}$-Brownian motion has a filtration strictly bigger than that of B. For instance, it is shown in [In Séminaire de Probabilités XLI 265–278 (2008) Springer] that B is maximal if there exists a linear Brownian motion C independent of B and such that the planar Brownian motion (B, C) generates the same filtration $\mathcal{Z}$ as Z. We do not know if this sufficient condition for maximality is also necessary.

We give a necessary condition for B to be maximal, and a sufficient condition which may be weaker than the existence of such a C. This sufficient condition is used to prove that the linear Brownian motion (X dYY dX)/|Z|, which governs the angular part of Z, is maximal.

Résumé

Soient Z=(X, Y) un mouvement brownien plan de filtration naturelle $\mathcal{Z}$, et B un mouvement brownien linéaire de la filtration $\mathcal{Z}$. On dit que B est maximal, et que la filtration naturelle de B est maximale, lorsqu’aucun autre mouvement brownien linéaire de $\mathcal{Z}$ n’engendre une filtration strictement plus grosse que celle de B. Il est par exemple établi dans [In Séminaire de Probabilités XLI 265–278 (2008) Springer] que B est maximal dès qu’il existe dans $\mathcal{Z}$ un mouvement brownien linéaire C indépendant de B et tel que le mouvement brownien plan (B, C) engendre toute la filtration $\mathcal{Z}$; nous ne savons pas si cette condition suffisante de maximalité est aussi nécessaire.

Nous donnons une conditions nécessaire de maximalité, ainsi qu’une condition suffisante peut-être plus faible que l’existence d’un tel C. À l’aide de cette condition suffisante, nous démontrons que le mouvement brownien linéaire (X dYY dX)/|Z|, qui régit la partie angulaire de Z, est maximal.

Article information

Source
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 45, Number 3 (2009), 876-886.

Dates
First available in Project Euclid: 4 August 2009

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https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1249391390

Digital Object Identifier
doi:10.1214/08-AIHP194

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2548509

Zentralblatt MATH identifier
1176.60072

Subjects
Primary: 60J65: Brownian motion [See also 58J65] 60G07: General theory of processes 60G44: Martingales with continuous parameter

Keywords
Brownian filtration Maximal Brownian motion Exchange property

Citation

Brossard, Jean; Émery, Michel; Leuridan, Christophe. Maximal Brownian motions. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 45 (2009), no. 3, 876--886. doi:10.1214/08-AIHP194. https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1249391390


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References

  • [1] S. Attal, K. Burdzy, M. Émery and Y. Hu. Sur quelques filtrations et transformations browniennes. In Séminaire de Probabilités XXIX 56–69. Lecture Notes in Mathematics 1613. Springer, Berlin, 1995.
  • [2] J. Brossard and C. Leuridan. Filtrations browniennes et compléments indépendants. In Séminaire de Probabilités XLI 265–278. Lecture Notes in Mathematics 1934. Springer, 2008.
  • [3] M. Émery. On certain almost Brownian filtrations. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 41 (2005) 285–305.
  • [4] D.W. Stroock and M. Yor. Some remarkable martingales. In Séminaire de Probabilités XV 590–603. Lecture Notes in Mathematics 850. Springer, Berlin, 1980.
  • [5] H. von Weizsäcker. Exchanging the order of taking suprema and countable intersections of σ-algebras. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 19 (1983) 91–100.