Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques

Branching Brownian motion with an inhomogeneous breeding potential

J. W. Harris and S. C. Harris

Full-text: Open access

Abstract

This article concerns branching Brownian motion (BBM) with dyadic branching at rate β|y|p for a particle with spatial position y∈ℝ, where β>0. It is known that for p>2 the number of particles blows up almost surely in finite time, while for p=2 the expected number of particles alive blows up in finite time, although the number of particles alive remains finite almost surely, for all time. We define the right-most particle, Rt, to be the supremum of the spatial positions of the particles alive at time t and study the asymptotics of Rt as t→∞. In the case of constant breeding at rate β the linear asymptotic for Rt is long established. Here, we find asymptotic results for Rt in the case p∈(0, 2]. In contrast to the linear asymptotic in standard BBM we find polynomial asymptotics of arbitrarily high order as p↑2, and a non-trivial limit for lnRt when p=2. Our proofs rest on the analysis of certain additive martingales, and related spine changes of measure.

Résumé

Cet article concerne un mouvement brownien branchant (BBM) en deux particules avec un taux β|y|p pour une particule située en y∈ℝ, avec une constante β>0. Il est connu que pour p>2, le nombre de particules explose presque sûrement en temps fini, alors que pour p=2 le nombre de particules explose en moyenne en temps fini bien qu’il reste fini presque sûrement à tout moment. Nous définissons la particule la plus à droite Rt comme le supremum des positions spatiales des particules vivant à l’instant t et étudions les asymptotiques de Rt quand t tend vers l’infini. Dans le cas d’une reproduction à taux constant β, l’asymptotique linéaire de Rt est bien connue. Ici, nous trouvons des résultats asymptotiques pour Rt dans le cas où p∈(0, 2]. Contrastant avec les asymptotiques linéaires du BBM standard, nous trouvons des asymptotiques polynomiales de degré arbitrairement grand quand p croit vers 2, et une limite non triviale pour lnRt quand p=2. Nos preuves s’appuient sur certaines martingales positives et des changements de mesures.

Article information

Source
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 45, Number 3 (2009), 793-801.

Dates
First available in Project Euclid: 4 August 2009

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https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1249391385

Digital Object Identifier
doi:10.1214/08-AIHP300

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2548504

Zentralblatt MATH identifier
1183.60029

Subjects
Primary: 60J80: Branching processes (Galton-Watson, birth-and-death, etc.)

Keywords
Branching Brownian motion Additive martingales Spine constructions

Citation

Harris, J. W.; Harris, S. C. Branching Brownian motion with an inhomogeneous breeding potential. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 45 (2009), no. 3, 793--801. doi:10.1214/08-AIHP300. https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1249391385


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