Large deviations for voter model occupation times in two dimensions

Abstract

We study the decay rate of large deviation probabilities of occupation times, up to time t, for the voter model η: ℤ²×[0, ∞)→{0, 1} with simple random walk transition kernel, starting from a Bernoulli product distribution with density ρ∈(0, 1). In [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413], Bramson, Cox and Griffeath showed that the decay rate order lies in [log(t), log²(t)].

In this paper, we establish the true decay rates depending on the level. We show that the decay rates are log²(t) when the deviation from ρ is maximal (i.e., η≡0 or 1), and log(t) in all other situations. This answers some conjectures in [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413] and confirms nonrigorous analysis carried out in [Phys. Rev. E 53 (1996) 3078–3087], [J. Phys. A 31 (1998) 5413–5429] and [J. Phys. A 31 (1998) L209–L215].

On étudie le taux de décroissance des probabilités de grandes déviations des temps d’occupation, jusqu’à l’instant t, du modèle du votant η: ℤ²×[0, ∞)→{0, 1} ayant le noyau de transition d’une marche aléatoire simple et partant d’une distribution produit de Bernoulli de paramètre ρ∈(0, 1). Dans [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413], Bramson, Cox et Griffeath ont montré que l’ordre du taux de décroissance se situe dans [log(t), log²(t)].

Dans cet article, nous établissons les taux de décroissance exacts dépendant du niveau. On prouve que les taux de décroissance sont log²(t) lorsque la déviation de ρ est maximale (i.e., η≡0 ou 1), et log(t) dans toutes les autres situations. Ceci répond à une conjecture de [Probab. Theory Related Fields 77 (1988) 401–413] et confirme l’analyse non rigoureuse effectuée dans [Phys. Rev. E 53 (1996) 3078–3087], [J. Phys. A 31 (1998) 5413–5429] et [J. Phys. A 31 (1998) L209–L215].