Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Abstract

Soit Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E, admettant une probabilité invariante, soit (X_n)_n une chaîne de Markov associée à Q, et soit ξ une fonction réelle mesurable sur E, et $S_n=\sum^n_{k=1}ξ(X_k)$. Sous des hypothèses fonctionnelles sur l’action de Q et des noyaux de Fourier Q(t), nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite $(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})_{n}$. Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse en n^−τ/2 pour tout τ<1, ou bien en n^−1/2. Nous appliquons la méthode de Nagaev en l’améliorant, d’une part grâce à un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d’autre part grâce à une majoration de $|\mathbb{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}t{S_{n}}/{\sqrt{n}}}]-\mathrm{e}^{{-t^{2}}/{2}}|$ obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. Lorsque E est non compact ou ξ est non bornée, les conditions requises ici sur Q(t) (en substance, des conditions de moment sur ξ) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu’on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes V-géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en n^−1/2 sous une hypothèse de moment d’ordre 3 sur ξ.

Let Q be a transition probability on a measurable space E which admits an invariant probability measure, let (X_n)_n be a Markov chain associated to Q, and let ξ be a real-valued measurable function on E, and $S_n=\sum^n_{k=1}ξ(X_k)$. Under functional hypotheses on the action of Q and the Fourier kernels Q(t), we investigate the rate of convergence in the central limit theorem for the sequence $(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})_{n}$. According to the hypotheses, we prove that the rate is, either O(n^−τ/2) for all τ<1, or O(n^−1/2). We apply the spectral Nagaev’s method which is improved by using a perturbation theorem of Keller and Liverani, and a majoration of $|\mathbb{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}t{S_{n}}/{\sqrt{n}}}]-\mathrm{e}^{{-t^{2}}/{2}}|$ obtained by a method of martingale difference reduction. When E is not compact or ξ is not bounded, the conditions required here on Q(t) (in substance, some moment conditions on ξ) are weaker than the ones usually imposed when the standard perturbation theorem is used in the spectral method. For example, in the case of V-geometric ergodic chains or Lipschitz iterative models, the rate of convergence in the c.l.t. is O(n^−1/2) under a third moment condition on ξ.