On the path structure of a semimartingale arising from monotone probability theory

Abstract

Let X be the unique normal martingale such that X₀=0 and

d[X]_t=(1−t−X_t−) dX_t+dt

and let Y_t:=X_t+t for all t≥0; the semimartingale Y arises in quantum probability, where it is the monotone-independent analogue of the Poisson process. The trajectories of Y are examined and various probabilistic properties are derived; in particular, the level set {t≥0: Y_t=1} is shown to be non-empty, compact, perfect and of zero Lebesgue measure. The local times of Y are found to be trivial except for that at level 1; consequently, the jumps of Y are not locally summable.

Soit X l’unique martingale normale telle que X₀=0 et

d[X]_t=(1−t−X_t−) dX_t+dt

et soit Y_t:=X_t+t pour tout t≥0; la semimartingale Y se manifeste dans la théorie des probabilités quantiques, où c’est analogue du processus de Poisson pour l’indépendance monotone. Les trajectoires de Y sont examinées et diverses propriétés probabilistes sont déduites; en particulier, l’ensemble de niveau {t≥0: Y_t=1} est montré être non vide, compact, parfait et de mesure de Lebesgue nulle. Les temps locaux de Y sont trouvés être triviaux sauf celui au niveau 1; par conséquent les sauts de Y ne sont pas localements sommables.