Algebraic & Geometric Topology

Sur la realisation des modules instables

DongHua Jiang

Full-text: Open access

Abstract

In this article, we give some conditions on the structure of an unstable module, which are satisfied whenever this module is the reduced cohomology of a space or a spectrum. First, we study the structure of the sub-modules of ΣsH̃(B(2)d;2), ie the unstable modules whose nilpotent filtration has length 1. Next, we generalise this result to unstable modules whose nilpotent filtration has a finite length, and which verify an additional condition. The result says that under certain hypotheses, the reduced cohomology of a space or a spectrum does not have arbitrary large gaps in its structure. This result is obtained by applying Adams’ theorem on the Hopf invariant and the classification of the injective unstable modules.

This work was carried out under the direction of L Schwartz.

R é sum é

Dans cet article, on donne des restrictions sur la structure d’un module instable, qui doivent être vérifiées pour que celui-ci soit la cohomologie réduite d’un espace ou d’un spectre. On commence par une étude sur la structure des sous-modules de ΣsH̃(B(2)d;2), i.e., les modules instables dont la filtration nilpotente est de longueur 1. Ensuite, on généralise le résultat aux modules instables dont la filtration nilpotente est de longueur finie, et qui vérifient une condition supplémentaire. Le résultat dit que sous certaines hypothèses, la cohomologie réduite d’un espace ou d’un spectre ne contient pas de lacunes de longueur arbitrairement grande. Ce résultat est obtenu par application du célèbre théorème d’Adams sur l’invariant de Hopf et de la classification des modules instables injectifs.

Ce travail est effectué sous la direction de L Schwartz.

Article information

Source
Algebr. Geom. Topol., Volume 4, Number 1 (2004), 151-175.

Dates
Received: 23 September 2002
Revised: 5 September 2003
Accepted: 27 January 2004
First available in Project Euclid: 21 December 2017

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.agt/1513882472

Digital Object Identifier
doi:10.2140/agt.2004.4.151

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2059187

Zentralblatt MATH identifier
1059.55008

Subjects
Primary: 55N99: None of the above, but in this section
Secondary: 55S10: Steenrod algebra

Keywords
opérations de Steenrod module instable théorème d'Adams la classification des modules instables injectifs

Citation

Jiang, DongHua. Sur la realisation des modules instables. Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), no. 1, 151--175. doi:10.2140/agt.2004.4.151. https://projecteuclid.org/euclid.agt/1513882472


Export citation

References

  • J.F. Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, 72 (1960), pp. 20-104.
  • P. Gabriel, Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 323-448.
  • H.W. Henn, J. Lannes et L. Schwartz, Localizations of unstable $\mathcal A$-modules and equivariant mod $p$ cohomology, Math. Ann. 301 (1995), No.1, pp. 23-68.
  • N.J. Kuhn, On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 321-347.
  • J. Lannes et L. Schwartz, Sur la structure des ${\mathcal A}-$modules instables injectifs, Topology (1989), Vol.28, No.2, pp. 153-169.
  • A. Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations, Mem. A.M.S. 42 (1962).
  • J. Milnor, The Steenrod algebra and its dual, Annals of Mathematics, 67 (1958), pp. 150-171.
  • L. Schwartz, La filtration nilpotente de la categorie $\mathcal U$ et la cohomologie des espaces de lacets, Algebraic topology–-rational homotopy (Louvain-la-Neuve, 1986), pp. 208–218, Lecture Notes in Math., 1318, Springer, Berlin (1988).
  • L. Schwartz, Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics Series (1994).
  • L. Schwartz, La filtration de Krull de la catégorie $\mathcal U$ et la cohomologie des espaces, Algebr. Geom. Topol. 1 (2001), pp. 519-548 (electronic).
  • N. Shimada et T. Yamanoshita, On triviality of the mod $p$ Hopf invariant, Japan J.Math. 31 (1961), pp. 1-25.