Contraction par Frobenius et modules de Steinberg

Abstract

Soit $G$ un groupe réductif défini sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive. Nous montrons que le foncteur contraction par Frobenius de la catégorie des $G$-modules est adjoint à droite de celui de tensorisation deux fois par le module de Steinberg du tordu de Frobenius du $G$-module de départ. Il s’ensuit en particulier que le foncteur de contraction par Frobenius préserve le caractère injectif et l’existence de bonne filtration mais pas la semi-simplicité.

For a reductive group $G$ defined over an algebraically closed field of positive characteristic, we show that the Frobenius contraction functor of $Gs-modules is right adjoint to the Frobenius twist of the modules tensored with the Steinberg module twice. It follows that the Frobenius contraction functor preserves injectivity, good filtrations, but not semi-simplicity.