We prove that, if γ is a simple smooth curve in the unit sphere in Cⁿ, the space o pluriharmonic functions in the unit ball, continuous up to the boundary, has a trace of finite cof dimension in the space of all continuous functions on the curve.

SoitT un courant positif fermé sur un voisinage de 0 dans Cⁿ. Nous montrons que T admet un cône tangent (limite de la famille de ses homothétiques), dès que les masses projectives v_T(r) convergent assez vite vers V_T(0) pour que (v_T(r)−v_T(0))/r soit localement sommable en r=0. Cette condition suffisante est optimale: nous construisons des courants de bidegré (1, 1) n'ayant pas de cône tangent, tels que l'intégrale de (v_T(r)−v_T(0))/r soit aussi peu divergente qu'on le souhaite. Lorsque T est le courant d'intégration sur un ensemble analytique, on vérifie que v_T(r)−v_T(0)=0r^ε), ce qui redonne le théorème de Thie-King sur l'existence du cône tangent.

We prove BMO and L^p norm inequalities in Rⁿ for lacunary Walsh and generalized trigonometric series.

On déduit des estimations gaussiennes supérieures du noyau de la chaleur des estimations du même type pour les premières dérivées spatiales. On obtient ainsi des estimations gaussiennes inférieures du noyau de la chaleur. On donne des applications de ces résultats.

From Gaussian upper bounds on the heat kernel we deduce similar upper bounds on the first space derivatives of the heat kernel. Gaussian lower bounds on the heat kernel are deduced and some applications are given.

A sharp result on global small solutions to the Cauchy problem $u_t = \Delta u + f\left( {u,Du,D^2 u,u_t } \right)\left( {t > 0} \right),u\left( 0 \right) = u_0 $

In Rⁿ is obtained under the the assumption that f is C^1+r for r>2/n and ‖u₀‖C²(Rⁿ) +‖u₀‖W ${}_{1}^{2}$ (Rⁿ) is small. This implies that the assumption that f is smooth and ‖u₀ ‖W ${}_{1}^{k}$ (Rⁿ)+‖u₀‖W ${}_{2}^{k}$ (Rⁿ) is small for k large enough, made in earlier work, is unnecessary.