Acta Mathematica

Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires

Marcel Riesz

Full-text: Open access

Article information

Source
Acta Math. Volume 49, Number 3-4 (1926), 465-497.

Dates
First available in Project Euclid: 14 February 2017

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.acta/1487102067

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02564121

Rights
1926 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Riesz, Marcel. Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires. Acta Math. 49 (1926), no. 3-4, 465--497. doi:10.1007/BF02564121. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1487102067


Export citation

Literatur

  • J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta math. t. 30 (1906), p. 175–193.
  • Il en ressort que Mαβ et toutes ses puissances à des exposants positifs sont aussi convexes.
  • F. Hausdorff, Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen, Math. Zeitschr. t. 16 (1923), p. 163–169. On y trouve une liste des travaux relatifs de M. Young.
  • F. Riesz, Über eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Formel, Math. Zeitschr. t. 18 (1923), p. 117–124.
  • O. Hölder, Ueber einen Mittelwerthssatz, Götting. Nachr. 1889, p. 38–47. Cf. aussi Jensen, l. c. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta math. t. 30 (1906), p. 182.
  • Jusqu'ici il aurait suffi de supposer que nos points se trouvent dans le carré 0≦α≦1, 0≦β≦1.
  • Cf. pour un calcul analogue F. Hausdorff et F. Riesz, l. c. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta math. t. 30 (1906).
  • Le raisonnement qui précède tient aussi sans passage à la limite pour les points α+β=1, α>0, β>0.
  • l. c. Le raisonnement qui précède tient aussi sans passage à la limite pour les points α+β=1, α>0, β>0. p. 124. Nous reviendrons plus loin sur la généralisation du théorème de Parseval donnée dans le travail cité et dont le théorème du texte est un cas particulier. M. F. Riesz a observé que ce théorème particulier fournit de son côté, par un passage à la limite, la généralisation en question du théorème de Parseval.
  • Pour ces faits et pour les indications bibliographiques voir entre autres: J. Radon, Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Akad. Wien, t. 122, Abt. II a, (1913), p. 1295–1438; T. H. Hildebrandt, On integrals related to and extensions of the Lebesgue integrals, Am. M. S. Bull. t. 24 (1918), p. 113–144, 177–202. C. de la Vallée Poussin, Les fonctions à variation bornée et les questions qui s'y rattachent, Bull. des Sciences Math. (2) t. 44 (1920), p. 267–296. Dans toutes les applications qui suivent, même dans celles concernant des séries, on pourrait s'arranger avec l'intégrale de Lebesgue, mais nous préférons exposer nos résultats dans le langage de l'intégrale plus générale de Stieltjes-Lebesgue, qui permet d'une manière naturelle de considérer séries et intégrales sous le même point de vue.
  • A toutes les valeurs de y appartenant à un segment vertical, il correspond une seule valeur de x, l'abscisse de tous les points du segment; à une valeur de y appartenant à un segment horizontal, on fait correspondre une quelconque des abscisses des points du segment.
  • La fonction h(y) sera, en général, indéterminée pour les valeurs de y qui correspondent à des segments horizontaux; cependant ces valeurs formant un ensemble dénombrable, n'exerceront aucune influence sur l'intégrale, si l'on la prend au sens de Lebesgue.
  • Dans la suite, pour simplifier l'écriture, nous supprimerons, en général, la variable et les limites d'intégration.
  • Ce n'est que pour des raisons de rédaction que nous traitons les opérations bilinéaires avant d'avoir parlé des opérations linéaires.
  • Evidemment, cela ne pourra arriver que dans les intervalles extrêmes.
  • Dans la définition de M0β, on aura à remplacer dans le second membre de (20) le facteur correspondant à f par la borne supérieure de |f| au sens de Lebesgue, c'est-à-dire par le plus petit nombre que |f| ne dépasse que dans un ensemble nul au plus. La définition de Mα0 se fait d'une manière analogue.
  • Cf. p. ex. Radon, l. c. J. Radon, Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Akad. Wien, t. 122, (1913), p. 1371.
  • Pour la signification de M ${}_{0γ}^{*}$ et de M ${}_{γ0}^{*}$ . la note 2 p. 477.
  • Ce n'est que pour simplifier les énoncés que nous considérons ici les fonctions e2kπix au lieu des fonctions ekix.
  • l. c. note 2 F. Hausdorff, Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen, Math. Zeitschr. t. 16 (1923), p. 466. On y trouve une liste des travaux relatifs de M. Young.
  • l. c. note 3, F. Riesz, Über eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Formel, Math. Zeitschr. t. 18 (1923), p. 466.
  • Dans le cas du théorème de Young-Hausdorff, on définira ψ(x) d'une manière analogue dans l'intervalle (−∞, +∞). Ajoutons qu'on pourrait éviter les intégrales de Stieltjes-Lebesgue et se contenter d'intégrales ordinaires par le procédé un peu artificiel de poser, dans le cas du texte p. ex., ψ(x)=x, pour 0≦x≦∞ et T(f)=Ck pour kx< k+1.
  • ωk(t) désigne la valeur conjuguée de ωk(t).
  • Cf. la note 2 p. 477 et la note 1 p. 480.
  • E. C. Titchmarsh, A contribution to the theory of Fourier transofrms, Proc. London Math. Soc. (2), t. 23 (1924), p. 279–287.
  • Au lieu de l'inégalité de Bessel on s'appuie sur un théorème connu de M. Plancherel.
  • M. Riesz, 1) Les fonctions conjuguées et les séries de Fourier, Comptes rendus, t. 178 (28 avril 1924) p. 1464; 2) Sur les fonctions conjuguées, va paraître dans la Math. Zeitschr.
  • Cf. aussi E. C. Titchmarsh, Reciprocal formulæ involving series and integrals, Math. Zeitschr. t. 25 (1926) p. 321–347.
  • A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen, Inauguraldissertation, Giessen, 1923.
  • l. c. A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen, Inauguraldissertation, Giessen, 1923. p. 324.
  • Les résultats concernant les suites des types (1, 1) ou (∞, ∞) que nous avons indiqués sont dus à MM. W. H. Young et S. Szidon; W. H. Young, On Fourier series and functions of bounded variation, Lond. Roy. Soc. Proc. t. 88 (1913), p. 561–568, On a condition that a trigonometrical series should have a certain form, ibid. p. 569–574; S. Szidon, Reihentheoretische Sätze und ihre Anwendungen in der Theorie der Fourierschen Reihen, Math. Zeitschr. t. 10 (1921), p. 121–127. M. Fekete a montré (Über Faktorenfolgen welche die “Klasse” einer Fourierschen Reihe unverändert lassen, Szeged Acta Univ. Franc.-Jos. t. 1 (1923), p. 148–166) que lesdites suites sont aussi les suites de facteurs qui transforment bien d'autres classes de fonctions (fonctions continues, fonctions intégrables au sens de Riemann etc.) en elles-mêmes.
  • Comptes rendus, l. c., Math. Zeitschr. l. c.
  • Pour de telles suites cf. G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Some properties of fractional integrals, Proc. London Math. Soc. t. 23 (1924)Records. p. XXXVII-XLI.
  • I. Schur, Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen, Journ. f. Math. t. 140 (1911), p. 1–28, voir, en particulier, p. 6.
  • On pourrait encore y ajouter le fait presqu'évident que, pour des ajk quelconques, il y a convexité dans tout le plan sur les droites α=const. et β=const.