Acta Mathematica

Sur la recherche des fonctions primitives

Henri Lebesque

Full-text: Open access

Article information

Source
Acta Math., Volume 49, Number 3-4 (1926), 245-262.

Dates
First available in Project Euclid: 14 February 2017

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https://projecteuclid.org/euclid.acta/1487102060

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02564114

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1555243

Rights
1926 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Lebesque, Henri. Sur la recherche des fonctions primitives. Acta Math. 49 (1926), no. 3-4, 245--262. doi:10.1007/BF02564114. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1487102060


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Literatur

  • Ce procédé ne permettrait pas d'effectuer la recherche des fonctions primitives des nombres dérivés, ce que permet de faire la totalisation.
  • Je rappelle qu'un ensemble fermé est un ensemble contenant tous ses points limites. L'ensemble E étant supposé dans (a, b), les intervalles contigus à E sont ceux qui ont pour origines et extrémités, a, b ou des points de E et que ne contiennent à leur intérieur aucun point de E. Ces intervalles étant sans points intérieurs communs, il y en a au plus $\frac{{b - a}}{l}$ de longueur l, de sorte qu'on peut les classer par ordre de longueur décroissante en convenant, par example, lors-qu'on trouvera plusieurs contigus égaux de les ranger dans l'ordre oú ils se succèdent de a vers b. Ces intervalles ainsi rangés sont les intervalles Ik du texte.
  • Nous considérons que a fait partie de E1, s'il n'existe pas d'intervalle (a, β) dans lequel ϕ(x) est constante à ε près et nous faisons une convention analogue pour b.
  • Moyennant une précaution analogue à celle déjà prise concernant les conditions que devront remplir a et b pour appartenir ou non à E2.
  • L'ensemble Eλ peut être défini comme l'ensemble des points communs à tous les ensembles E1, E2, … donnés par les opérations précédentes; il ne dépend donc d'aucun choix. Au contraire, dans la définition des fε, nous ne nous sommes pas astreint à introduire assez de conditions pour que ces fonctions ne dépendent plus d'aucun choix, même dans le cas simple d'une fonction fε linéaire donnée par notre première remarque. Il n'y aurait aucune difficulté à préciser la définition des fonctions fε de façon qu'elles soient uniquement déterminées; mais cela n'aurait aucune importance, ni aucun intérêt véritable.
  • On remarquera que je n'utilise nullement la théorie de la mesure, je me sers seulement du mot “mesure”; mais je définis, pour l'ensemble e, ce qu'il signifie, sans avoir besoin d'aucune théorie générale.
  • On pourra prendre l'exposé de ces procédés que donne M. Baire dans son livre: Leçons sur les fonctions discontinues; mais on pourrait se reporter à tout autre exposé conduisant non seulement à la démonstration du théorème de M. Baire mais aussi, comme dit M. de la Vallée-Poussin, à la solution du problème de M. Baire. C'est-à-dire qu'il faut écarter les raisonnements qui, comme ceux que j'ai donnés, fournissent un théorème d'existence de la série mais ne donnent pas un procédé régulier de construction de la série. Il y a fort longtemps que j'ai signalé la différence essentielle entre les deux espèces de démonstrations possibles (Journ. de Math. t. I, 1909, p. 176 en note et p. 183; C. R. t. CXXXIX, 1904); celles qui ne fournissent que le théorème d'existence peuvent ne pas faire appel à un procédé transfini tandis qu'un tel procédé parait indispensable pour la résolution du problème de M. Baire.
  • D'une façon plus précise l'intégration terme à terme de la série donnant ϕɛ(x, A, B) (x A, B) fournirait-niraitfε(x, A, B).
  • En d'autres termes, la série donnant ϕɛ(x, A, B) n'est pas en général intégrable terme à terme dans tout (A, B), mais seulement dans les parties de (A, B) limitées par les points de E2 qui sont dans (A, B).
  • En d'autres termes, fε(x, A, B) est définie par l'intermédiaire de l'intégration terme à terme d'une série servant à la définition de ϕɛ(x, A, B). Je parle de séries servant à la définition de ϕɛ(x, A, B) et non pas des séries de fonctions continues convergeant vers ϕɛ(x, A, B), bein qu'il paraisse vraisemblable qu'on puisse rendre celles-ci intégrables terme à terme.