Acta Mathematica

Hypergeometric functions

N. E. Nørlund

Full-text: Open access

Article information

Source
Acta Math. Volume 94 (1955), 289-349.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892153

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02392494

Zentralblatt MATH identifier
0067.29402

Rights
1955 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri

Citation

Nørlund, N. E. Hypergeometric functions. Acta Math. 94 (1955), 289--349. doi:10.1007/BF02392494. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892153


Export citation

References

  • W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 32 (1935).
  • E. W. Barnes, The asymptotic expansion of integral functions defined by generalised hypergeometric series. Proc. London Math. Soc. (2), 5 (1907), 59–116.
  • —, A new development of the theory of the hypergeometric functions. Proc. London Math. Soc. (2), 6 (1908), 141–177.
  • —, A transformation of generalized hypergeometric series, Quart. J. Math., 41 (1910), 136–140.
  • J. T. I'A. Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series. London 1926.
  • T. W. Chaundy, An extension of hypergeometric functions, Quart. J. Math., Oxford Ser. 14 (1943), 55–78.
  • G. Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Berlin, 1937.
  • G. Doetsch, Handbuch der Laplace-Transformation, Band I. Basel 1950.
  • A. Erdélyi, Der Zusammenhang zwischen verschiedenen Integraldarstellungen hypergeometrischer Funktionen, Quart. J. Math., Oxford Ser. 8 (1937), 200–213.
  • —, Integraldarstellungen hypergeometrischer Funktionen. Quart. J. Math., Oxford Ser. 8 (1937), 267–277.
  • A. Erdélyi, Higher Transcendental Functions 1–3, Based, in Part, on Notes left by Harry Bateman and Compiled by the Staff of the Bateman Manuscipt Project. New York 1953–55.
  • A. Erdélyi, Tables of Integral Transforms. 1–2. New York 1954.
  • C. F. Gauss, Disquisitiones generales circa seriem infinitam $1 + \frac{{\alpha \beta }}{{1 \cdot \gamma }}x + \cdot \cdot \cdot$ . Werke 3, 133–162, Göttingen 1876.
  • - C. F. Gauss, Determinatio seriei nostrae per aequationem differentialem secundi ordinis. Werke 3, 207–230.
  • E. Goursat, Mémoire sur les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (2), 12 (1883), 261–286, 395–430.
  • —, Sur une classe de fonctions représentées par des intégrales définies. Acta Math., 2 (1883), 1–70.
  • —, Sur une classe d'intégrales doubles. Acta Math., 5 (1884), 97–120.
  • E. Goursat, Leçons sur les séries hypergéométriques. Paris 1936.
  • G. H. Hardy, Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. Cambridge 1940, 101–112.
  • F. Klein, Vorlesungen über die hypergeometrische Function, herausgegeben von O. Haupt. Berlin 1933.
  • E. Lindelöf, Sur l'intégration de l'équation différentielle de Kummer. Acta Soc. Scient. Fennicæ, 19 (1893), 3–31.
  • E. Lindelöf, Le calcul des résidus. Paris 1905.
  • T. M. MacRobert, Induction proofs of the relations between certain asymptotic expansions and corresponding generalised hypergeometric series. Proc. Roy. Soc. Edinburg, 58 (1937), 1–13.
  • T. M. MacRobert, Functions of a Complex Variable. London 1954.
  • J. Malmquist, V. Stenström, and S. Danielson, Matematisk analys II. Stockholm 1952.
  • L. E. Mehlenbacher, The interrelations of the fundamental solutions of the hypergeometric equation. Amer. J. Math., 60 (1938), 120–128.
  • C. S. Meijer, Multiplikationstheoreme für die Funktion G ${}_{p, q}^{m, n}$ (z). Indagationes Math., 3 (1941), 486–494.
  • —, On the G-function. Indagationes Math., 8 (1946), 124–134; 213–225; 312–324; 391–400; 468–475; 595–602; 661–670; 713–723.
  • C. S. Meijer, Expansion theorems for the G-function. Indagationes Math., 14–17 (1952–1955).
  • Hj. Mellin, Über einen Zusammenhang zwischen gewissen linearen Differential- und Differenzengleichungen. Acta Math., 9 (1887), 137–166.
  • —, Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung. Acta Math., 15 (1891), 317–384.
  • Hj. Mellin, Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen Funktionen. Acta Soc. Scient. Fennicæ, 21 (1896).
  • Hj. Mellin, Über gewisse durch bestimmte Integrale vermittelte Beziehungen zwischen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten, Acta Soc. Scient. Fennicæ, 21 (1896).
  • Hj. Mellin, Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Functionen von endlichem Geschlecht. Acta Soc. Scient. Fennicæ, 29 (1900).
  • —, Über den Zusammenhang zwischen den linearen Differential- und Differenzengleichungen. Acta Math., 25 (1902), 139–164.
  • Hj. Mellin, Grundzüge einer einheitlichen Theorie der Gamma- und der hypergeometrischen Funktionen. Annales Acad. Scient. Fennicæ A, 1 (1909).
  • —, Abriss einer einheitlichen Theorie der Gamma- und der hypergeometrischen Funktionen. Math. Ann., 68 (1910), 305–337.
  • A. Michaelsen, Der logarithmische Grenzfall der hypergeometrischen Differentialgleichung n-Ordnung. Diss., Kiel 1889.
  • N. E. Nørlund, Fractions continues et différences réciproques. Acta Math., 34 (1911), 1–108.
  • N. E. Nørlund, Sur une classe de fonctions hypergéométriques. Bull. Acad. Sci. Danemark 1913, 135–153.
  • —, Sur les séries de facultés. Acta Math., 37 (1914), 327–387.
  • N. E. Nørlund, Leçons sur les séries d'interpolation. Paris 1926.
  • N. E. Nørlund, Hypergeometriske Funktioner. Mat. Tidsskr. B (1950), 18–21.
  • - N. E. Nørlund, Séries hypergéométriques, Proc. Roy. Physiog. Soc. Lund. 21 (1952).
  • —, Sur les fonctions hypergéométriques. C. R. Acad. Sc. Paris, 237 (1953), 1371–1373; 1466–1468.
  • —, Über hypergeometrische Funktionen. Arch. Math., 5 (1954), 258–265.
  • O. Perron, Über das Verhalten von f(v) (x) für lim v=∞, wenn f (x) einer linearen homogenen Differentialgleichung genügt. S.-B. Kl. Bayer. Akad. Wiss. 1913, 355–382.
  • O. Perron, Über das Verhalten der hypergeometrischen Reihe bei unbegrenztem Wachstum eines oder mehrerer Parameter. S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. 1916, A. 9.
  • S. Pincherle, Sopra una trasformazione delle equazioni differenziali lineari in equazioni alle differenze, e vice versa. Rendiconti del R. Istituto Lombardo (2), 19 (1886).
  • —, Della trasformazione di Laplace e di alcune sue applicazioni. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna (4), 8 (1887), 125–144.
  • —, Sulle funzioni ipergeometriche generalizzate. Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. (4), 4 (1888), 694–700, 792–799.
  • —, Contributo alla integrazione delle equazioni differenziali lineari mediante integrali definiti. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna (5), 2 (1892).
  • —, Delle funzioni ipergeometriche. Giorn. Mat. Battaglini, 32 (1894), 209–291.
  • S. Pincherle, Sull'inversione degl'integrali definiti. Mem. Soc. Ital. Sci. (3), 15 (1907).
  • L. Pochhammer, Über die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. J. reine angew. Math., 102 (1888), 76–159.
  • B. Riemann, Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) darstellbaren Funktionen. Gesammelte mathematische Werke, Leipzig 1892, 67–87.
  • B. Riemann, Vorlesungen über die hypergeometrische Reihe. G. m. W. Nachträge, Leipzig 1902, 69–94.
  • F. C. Smith, Relations among the fundamental solutions of the generalized hypergeometric equation when p=q+1 I. Non-logarithmic cases. Bull. Amer. Math. Soc., 44 (1938), 429–433.
  • —, On the logarithmic solutions of the generalized hypergeometric equation when p=q+1. Bull. Amer. Math. Soc., 45 (1939), 629–636.
  • —, Relations among the fundamental solutions of the generalized hypergeometric equation when p=q+1. II. Logarithmic cases. Bull. Amer. Math. Soc., 45 (1939), 927–935.
  • J. Thomae, Über die höheren hypergeometrischen Reihen, Math. Ann., 2 (1870), 427–444.
  • —, Über Funktionen, welche durch Reihen von der Form dargestellt werden $1 + \frac{p}{1}\frac{{p'}}{{q'}}\frac{{p''}}{{q''}} + \cdot \cdot \cdot$ . J. reine angew. Math., 87 (1879), 26–73.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge 1946.
  • E. Winkler, Über die hypergeometrische Differentialgleichung nterOrdnung mit zwei endlichen singulären Punkten. Diss. München 1931.
  • A. Winter, Über die logarithmischen Grenzfälle der hypergeometrischen Differentialgleichungen. Diss. Kiel 1905.