Acta Mathematica

Les congruences planes de coniques qui n'ont que deux points focaux

René Lagrange

Full-text: Open access

Article information

Source
Acta Math., Volume 93 (1955), 257-292.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892128

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02392524

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR73207

Zentralblatt MATH identifier
0068.15501

Rights
1955 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri

Citation

Lagrange, René. Les congruences planes de coniques qui n'ont que deux points focaux. Acta Math. 93 (1955), 257--292. doi:10.1007/BF02392524. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892128


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References

  • «Cf. Sur les congruences de cercles du plant’, Bull. Sc. Math., t. 71 (1947), p. 1–23.
  • loc. cit. Sur les congruences de cercles du plan, Bull. Sc. Math., t. 71 (1947), p. 1.
  • Il ne peut y avoir uniquement des points simples fixes si m>2.
  • On verra au § 5 un exemple de cubiques n'ayant qu'un point multiple fixe (rebroussement à l'infini), avec N=2, mais les hypothèses générales admises au § 2 ne sont pas satisfaites.
  • loc. cit., On verra au § 5 un exemple de cubiques n'ayant qu'un point multiple fixe (rebroussement à l'infini), avec N=2, mais les hypothèses générales admises au § 2 ne sont pas satisfaites. p. 4.
  • Ces éléments sont justement $\frac{{\partial f}}{{\partial \alpha }}et\frac{{\partial f}}{{\partial \beta }}$ , dont la nullité assure l'évanouissement de l'équation (17) des variétés focales.
  • C joue un rôle différent de A et B, à cause du rôle spécial de la droite t=0.
  • Dans tous les cas, D est la droite qui joint A au point de coordonnées (l,z,0).
  • Cf. loc. cit. Dans tous les cas D est la droite qui joint A au point de coordonnées (l,z,0), p. 8.
  • Cf. loc. cit. Dans tous les cas, D est la droite qui joint A au point de coordonnées (l,z,0). p. 17.
  • Pour les équations dy/dx=const., il n'y a plus de droites focales, ni de vraies coniques C.
  • Cf. Goursat, «Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre», t. I, p. 62–71.
  • L'étude analytique de la condition de tangence établit, entre les paramètres des deux coniques dans leurs faisceaux respectifs, une relation biquadratique qui se décompose en deux relations homographiques. Cette décomposition s'explique par la solution obtenue avec les droites, parallèles à une direction donnée, tangentes à un faisceau de cercles tangents; le lieu étant formé par deux droites L, L', la considération d'une de ces droites, soit L, établit une correspondance homographique entre le cercle C du faisceau qui passe par un point de L, et la droite de l'autre faisceau, qui passe par le même point, et y est alors tangente à C. D'autre part, chacune des deux relations homographiques fournit un lieu du point de contact qui est du 4e degré, mais ne peut être rien d'autre qu'une conique double. Quand ω′ vient en ω, l'une de ces coniques doubles devient le faisceau double formé par les droites ωA0 ωA1 prises deux fois, et l'autre est une vraie conique double passant par A0 et A1.